2階微分方程式の問題について
下記の微分方程式についての質問です。
k * (d^2 y/dx^2) = a * y^2 …(1)
ここで、k, a は定数、(d^2 y/dx^2)はyの2階微分（つまりy''）を表しています。また、* は積を表しています。
この2階微分方程式の一般解を求めたいのですが、詰まっています。
私のやり方は、まず(d^2 y/dx^2)=y'' として
k * y'' = a * y^2 …(2)
(2)の両辺に2y'をかけて
k*y''*2y' = a * y^2 * 2y'
これより
( k * (y')^2 )' = ( 2a* (y^3/3) )'
両辺を積分して
k * (y')^2 = (2a/3) * y^3 + C1 …(3)
(ただしC1は積分定数)
このあと、変数分離すればとけるはずなのですが、
その先が詰まっています。
C1があるせいで積分できないのです。
これは一般解が求められないのでしょうか？
また、初期条件は
x=0でy=y0、x→∞でy=0
なので、x→∞でy'=0 と考えて、(3)よりC1=0 として考えると、
うまく変数分離できて
y^(-3/2) dy = √(2a/3k) * dx
∴ y^(-1/2) = (-1/2) * √(2a/3k) *x + C2
(C2は積分定数)
∴ y = ((-1/2) * √(2a/3k) *x + C2)^(-2) …(4)
初期条件より
C2 = y0^(-1/2)
という感じで解いていったのですが、
どうやら解答は
y = p * (x + q)^(-2)
ただし、p = 6k/a, q = (a*y0/6k)^(-1/2)
となるようです。。。
何度見直してもこうならないのですが、
私の計算ミスでしょうか。。。？
(i) 式(3)の一般解
(ii) 式(4)が合っているか
に関して、どなたか知恵をお貸しいただければ幸いです。
数式見づらくて恐縮です。
お礼
ありがとうございます。