微分方程式の問題なのですが

質問

いつもお世話になっております。今回の問題は・・・正直微分方程式には関係してない疑問なのかもしれませんが、わからなかったので質問させていただきました。

xy'+(1+x)y=e^x
この問題の解答の途中でxに絶対値がついたのですが（積分したら対数になり、log|x|という形になったので）これの絶対値のはずし方がよくわかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

＞これの絶対値のはずし方がよくわかりません。

一般論で言えば、外れない場合は、無理に外す必要はないのですが…

＞xy'+(1+x)y=e^x

とりあえずは、左辺=0で、基本解を出すところだけで、十分ですよね？

dy/dx = -{(1+x)/x}y
dy/y = -(1+x)dx/x = -dx/x - dx
∫dy/y = -∫dx/x -∫dx
log|y| = -log|x| - x + C
e^(log|y|) = e^(-log|x|) * e^(-x) * e^C
|y| = 1/|x| * e^(-x) * e^C

これから、

A = e^C(＞0) と置き直して、
y = ±A * e^(-x)/x のようにやるか、

符号ごと、Aと置き直して、
y = A * e^(-x)/x のようにやるか、

どっちか、好きな方を、で、大丈夫でしょう。

(まとめて、置き直したとき、A=0の場合を認めていいかどうかは、y=0が元の方程式を満たす可能性があるかどうかで、一概には言えませんが、数学科でなければ、出てきた式は、もっと、実践的に扱うので、そんなに神経質にならなくても普通は大丈夫。ただし、数学科、特に純粋数学系の人間には、これだから、自然科学・工学系の奴は、と文句言われます^^)

途中で出た対数絡みの絶対値は、こういう具合に、積分定数の調整で消せることや、現実の問題を扱う時は、符号についての条件があって、そこで消せることが、多いのですが、あくまで、よくある、という話なので、消せない奴は、無理して消す必要はなく、絶対値が残ったら、間違い・失敗という訳じゃありません。

お礼

丁寧な回答、ありがとうございました。そうだったんですか・・・無理して消さなくてもいいんですね。初めて知りました。今回教えていただいたことをしっかり復習して身に着けたいと思います。ありがとうございました。