物理 力学的エネルギーについての問題

質問

問１５、質量２．０ｋｇの物体を地面から高さ１０ｍの位置から真上に速さ８．０ｍ/ｓで投げ上げた。次の問題を答えよ。ただし、重力加速度を９．８ｍ/ｓ＾２とする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(１)、地面に到達するときの速さを、力学的エネルギー保存則を用いて求めよ。　　　　　　　　　　　　(２)、地面に到達するときの速さを、鉛直投げ上げ運動の公式を用いて求めよ。　　　　　　　　　　　　この問題の解説を途中式を加えてわかりやすく教えてもらえるとありがたいです。

回答No.1

un5931 · ベストアンサー

(1)
先ず、力学的エネルギー保存則とは、
1/2m×v^2＋m×g×h＝一定　…(*)
(ここで、mは物体の質量[kg]、gは重力加速度[m/s^2]、vは物体の速度[m/s]、hは基準となる点からの高さ[m])
が運動中いかなる時間においても成り立つということでしたね。

地面を基準の点（h=0となる点のこと。この点は自分で選んで構いませんので、計算しやすい点を選んであげるとイイです）として、力学的エネルギー保存則の式を用いて地面に到達する時の物体の速さV1を求めてみます。

運動中、いかなる時間においても、その時々のv, hを調べて、1/2m×v^2＋m×g×hを計算した値は等しくなるはずですから、
運動開始直後のとき、すなわちm=2.0, g=9.8, v=8.0, h=10を(*)の左辺に代入して得られる値と、
地面に到達するとき、すなわちm=2.0, g=9.8, v=V1, h=0を(*)の左辺に代入して得られる値、
この二つの値は同じになります。

したがって、
1/2×2.0×(8.0)^2＋2.0×9.8×10＝1/2×2.0×(V1)^2＋2.0×9.8×0

あとは自分で計算できると思います。

また、先は地面を基準の点としましたが、運動開始の位置を基準の点としてもかまいません。
つまり、
運動開始直後のときを、m=2.0, g=9.8, v=8.0, h=0として、
地面に到達するときを、m=2.0, g=9.8, v=V1, h=-10(hは基準の点からの"高さ"を意味しているので、地面は基準の点より低いことを考えると、当然hはマイナスになりますよね。)
として、先と同じ計算をしてもおなじ結果が得られます。

(2)
鉛直なげあげの公式とは、鉛直方向上向きを正とした時、
a=-g　　　　…(1)
v=-gt＋v0　　…(2)
x=-1/2gt^2+v0×t+x0　　　…(3)
(aは加速度、vは速度、xは位置、tは時間、v0とx0は運動開始時点(t=0のとき)の速度と位置を意味します)

さっそくこれらの式を使って、地面に到達する時の早さV2を求めてみましょう。
まず、運動開始の速度v0は問題文からv0=8.0であることが分かります。
さらに、x=0となる点を地面としてセッティングすると、運動開始の位置x0はx0=10です。
これらより、まず、地面に到達する時間が求まります。
(3)に必要なパラメータを代入すると、
0=-1/2×9.8×t^2＋8.0×t＋10
このtに関する二次方程式を解けば、地面に到達する時間Tが分かります。(この時tは正の方の値を選ぶこと。)
そうやって求めたTを、今度は(2)の式に代入します。
V2＝-9.8×T+8.0

答えは負になりますが、これは速度方向が鉛直下向きだからです。聞かれているのは速さですから、
得られた値の絶対値を取ってあげればいいのです。

お礼

本当に親切に教えてくださり、本当に感謝しています。ありがとうございました。