微分積分の使い方

質問

数学のセンスがなくって申し訳ありません。

微分積分の使い方がよくわかりません。
工学を専攻し、材料力学や流体力学、音の解析とかにも微分積分を使います。
しかし、なんでそこで微分積分が使えるのかがよくわかりません。それでとりあえず解が得られるのは、わかりますが、文章の状態で問題が出された場合
「ああ、この問題あれを積分すれば解けるじゃん。」みたいな感じになりません。

ニュートンが訂した微分積分の成り立ちとか把握の仕方は、知っていますが速度、加速度、距離以外での微分積分の利用がよくわかりません。

微分積分を解くことは、練習問題、演習などでなんとなく機械的に解くことができます。しかし、高校で勉強した物理の方程式を微分積分を利用して解を得るというその考え方を作る方法がわかりません。

この質問を見た方の中で微分積分の利用方法がわかった瞬間や使い方がわかるような本を知っているようでしたら教えていただけますでしょうか。
宜しくお願い致します。

回答No.8

masudaya · ベストアンサー

>微分が微笑変化の変化量で積分が微小寄せ集めというのは、教わった覚えがあります。
ただ、その場合微笑変化量の繰り返し計算かΣで表されるのが適切なんじゃないのかな？って思います。

例えば、y=xでx=0から1までの面積を考えます。これは三角形の面積になりますから答えは1/2です。
一般の関数の場合は。このようにいきませんので、一般の場合に適用できる場合を考えていきます。
これを求めるために挟み撃ちで考えることにします。最初は大雑把な評価として(0,0)と(1,1)を通りますので
0≦∫(0→1)xdx≦1となります。次に[0,1]の区間を2等分すると、x=0,1/2,1を考えます。すると
1/4≦∫(0→1)xdx≦3/4となります。これを繰り返していけばよいことになります。
少し面倒なので、この区間をn等分するとx=0,1/n,2/n・・・(n-1)/n,n/n=1となります。
そして,x=k/nのとき横が1/nで,高さは(k-1)/nとk/nを考えます。
すると求める面積は
Σ(k=1・・・n)(k-1)/n×1/n≦∫(0→1)xdx≦Σ(k=0・・・n)k/n×1/n
となります。ここでk/nはxが通る部分を表し1/nはxの巾を表すので
Σx×Δxということになります。ここでn→∞としたものを積分と呼び
∫xdxと書くわけです。その意味で積分は和であるというのは正しいのですが、
例えば、Σk^2=1/6n(n+1)(2n+1)=1/3n^3+1/2n^2+1/6nですが
∫x^2dx=1/3x^3＋Cで2乗や1乗の項がなくなっています。
これがn→∞とした効果です。

>関数のその瞬間の傾きがあってその瞬間、瞬間の値を切り出しているなら微笑の変化量
（x1-ｘ0.99）/0.01を（x1.01-x1）/0.01、（x1.02-x1.01）/0.01みたいにちょっとずつ変化させている量を何度も繰り返し計算するようなものをイメージしてしまいます。
なのにそれがなぜ関数に微分の操作をするだけで上記のイメージと同じ効果をもたらしているのかがわかりません。

微分も同じで（x(1)-ｘ(0.99)）/0.01の様なことをしています。これを時間tの関数x(t)と考えたとき、見たい時間は見る対象によって異なります。例えばカタツムリだったら1秒ごとでいいけど、100m走なら1/100秒とか、通信などを考えると1μs(百万分の1秒)は遅いほうで10ps(1兆分の10秒)なども問題になります。そのものによって尺度を変えるのは面倒なのでΔt後を考え　(x(t+Δt)-x(t))/Δt としてΔt→0とするものを微分といいx'(t)などと表記します。こうすることでどの時間tでも傾きが定義できる点と、上で述べたような時間の尺度の違いも考慮する必要がありません。(実際のシミュレーションでは微分はできないので、おっしゃったような(x(t+Δt)-x(t))/Δtを実用的に問題ない小ささにして計算しています。)

>例えばy＝x＾2+x+1を微分すればy’＝2x+1になります。
しかし、この元の関数の傾きは、浅い角度から徐々に深い角度になります。なので今の区間の変化量と次の区間の変化量は、違うわけですよね。
それが微分という操作一つで解決しているということがわかりません。

実例で計算してみます。
y＝f(x)=x＾3+x+1とします。
(f(x+Δx)-f(x))/Δx=(((x+Δx)^3+(x+Δx)+1)-(x^3+x+1))/Δx=(3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3+Δx)/Δx
=3x^2+1+3xΔx+Δx^2
となります。ここでΔx→0とすることでf’(x)=3x+1となります。
おっしゃる様に差分として用いると極限をとることで消える3xΔx+Δx^2という余計なの項が生きることになります。
(このため、シミュレーションではΔxを十分小さくする。)やっていることはΔx離れたところで平均の傾きを出しています。
そうすると、巾Δxで変わる3xΔx+Δx^2という余計なの項が生まれます。これを0にすることによって、巾Δxによらない、f’(x)が作られるということです。実際に直線の傾きはx軸との角θと置くとy=tanθ xと書けます。
f'(x)=3x^2+1よりtanθ=3x^2+1となりｘが大きくなるほど、角度が大きくなっていることもご理解いただけるのではないかと思います。

私自身、わかっていないことが多いため、間違っている考え方やわかりにくい説明があると思いますが、どうか回答していただけると助かります。

もしかしてですが、実際の例えば株価とか気温変化などを念頭にお考えではないでしょうか。そうすると、そのようなデータは簡単な関数には書けませんので、微分や積分は記号としての意味はありますが、実際に計算するのはご指摘のような差分や和分となります。

よろしくお願いいたします。

お礼

ご回答ありがとうございます。
大変ためになりました。

まだまだ、十分に理解しきれていませんがとても興味深かったです。
ここから先の理解は、自分で実際に問題を解いて理解していこうと思います。

将来的には、解析学の方も勉強しようと考えているのでこの時点で挫折するのは、
解析学をやろうとしている人としては、失格なんでしょうが、頑張ります。

お提案していただいた書籍の方もアマゾンにて購入しようかと思います。

大変ためになりました。
ありがとうございました。

回答No.7

masudaya

微分は微小の入力に対する応答です。積分は小さい部分の寄せ集めです。
例えば、流体においては場を考える場合と粒子で考える場合があります。
その時、例えばその地点での流れることのできる断面積が流速と関係していることはすぐに理解されると思います。
そうすると、流量を出すためには、断面での各位置での流速を各位置で足し合わせること(積分)が必要になります。
また、音などは圧力の振動現象なので、微分方程式で記述され、微分積分は普通に用いますし、周波数ごとに分解するためにフーリエ変換も出てきます。

ほかの方が述べているようにシミュレーションを使うことで、方程式を知らなくてもよいという論調はたまに見かけますが、そういう方には逆に複雑な状況において最適解を出すために何度もシミュレーションを繰り返すのですか？と聞きたいです。問題によってはラグランジュの未定乗数法や変分法を使うことで一発で解が出る場合もあります。
式を使って考えると、どのパラメータがどの程度解に影響を与えるのかもわかります。
シミュレーションの場合は複数のパラメータセットをシミュレーションしないとわかりません。
現在では数式処理ソフトもありますし(無料のMaximaやWeb上にはhttps://www.wolframalpha.com/もあります。)
シミュレーションは、数式処理でうまく解が求まらないときにやるべきですし、そもそもシミュレーションがうまくいかない場合もたまにですがあります。(メッシュの切り方の問題が境界値の問題など)それを判断するのは人間で、シミュレーションを鵜吞みにするようではおかしなことが起きていることもわかりません。
ただ、直感てきにこうなるだろうといいうことをシミュレーションで確認するのはありだと思います。
違ったら数式処理で考えることになるのだし、そのあたりは臨機応変にと思います。

本ですが小出昭一郎”物理と微積分”、や理系教養課程での物理の教科書が必要な数学と物理がつながるように記載されているものが多いので良いのではないかと思います。

補足

大変丁寧な回答ありがとうございます。

微分が微笑変化の変化量で積分が微小寄せ集めというのは、教わった覚えがあります。
ただ、その場合微笑変化量の繰り返し計算かΣで表されるのが適切なんじゃないのかな？って思います。

関数のその瞬間の傾きがあってその瞬間、瞬間の値を切り出しているなら微笑の変化量
（x1-ｘ0.99）/0.01を（x1.01-x1）/0.01、（x1.02-x1.01）/0.01みたいにちょっとずつ変化させている量を何度も繰り返し計算するようなものをイメージしてしまいます。
なのにそれがなぜ関数に微分の操作をするだけで上記のイメージと同じ効果をもたらしているのかがわかりません。

例えばy＝x＾2+x+1を微分すればy’＝2x+1になります。
しかし、この元の関数の傾きは、浅い角度から徐々に深い角度になります。なので今の区間の変化量と次の区間の変化量は、違うわけですよね。
それが微分という操作一つで解決しているということがわかりません。

私自身、わかっていないことが多いため、間違っている考え方やわかりにくい説明があると思いますが、どうか回答していただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

回答No.6

FEX2053

微分というのは「より高次で起きている事象を、次元を切り取って単純化してみる」方法です。ですので、「物の変化率」などは「微分して動きを見る」ことが多いんです。

実際、Y=Ax+Bを微分すると横一直線になる＝増加率が一定＝単調増加ってことですよね。

同じく積分は、「低次で起きている事象で、より高次で起きる事象を推定・判定する」ってことです。ですので「実際のものの動き」は、何らかの方程式を積分して出てくることが多いです。

物の速度を積分すると距離が出てくるのは、この考え方です。

微積分が物理の世界で頻繁に出てくるのは、モノづくりのためには、計測できる「何かの変化率」と、観測ではわからない「実際の動き」を常時関連付けて考える必要があるからです。

補足

回答ありがとうございます。
なるほど。
次元を変えるという行為なんですね。
今まで、事象の一部を切り取ることだとしか教えられていなかったのでこの考え方がありませんでした。
つまり速度、距離、加速度の関係でいえば速度の関数の次元をかけたものを距離になり次元を低くしたものを加速度になる。
さらに次元を低くすれば加速度の変化率になりさらにそれの次元を低くすれば加速度の変化率の変化率に代わる。
逆に距離の次元を増やせば距離が時間で起こした事象を表すものになる。

片持ち梁の先端に力がかかってる状況に梁の長さをかけて次元を増やしたものがモーメントになりさらにかけたものが等分布に力がかかった状態のモーメントになる。さらに増やせばさらに高次元の力の加わり方の式になる。

他の公式においてもそれぞれ変化量を増やして次元を増やしたいときには次元の変数を持った記号を掛ければ（積分すれば）そのための関数を得ることができる。
逆にその関数の変化量を減らして次元を落としたいときには、その次元の変数を持った記号で除してあげる（微分してあげる）とそのための関数を得ることができる。
つまり、微分積分というのは、あくまでも変化量を増やしてあげるか減らしてあげるかの操作をして次元の操作をするもの
ということなんでしょうか。

まだまだ勉強と研鑽が足りてないので間違ている可能性がありますが、こういうことなんでしょうか。

回答No.5

sirasak

音響に興味があって専門書などには微分積分の難しい式で説明されているのですが、ちんぷんかんぷんです。
オーデイオではハイパス、ローパスと同じようなことをなぜ微分積分の難しい式で表す必要があるのかがどうしてもわからない。
編集ソフトAudacity,や電子回路シミュレーションLTSpaiceなどで自由自在に検討出来る時代になっていると思います。
生活上でも、速度、加速度、距離でも微分積分を利用する機会はほとんどないと思うのです。
わざわざ難しい虚数の計算式の説明でも絶対値の式を書かないので間違いがします。
学者は難しい式で本などを書かないと威厳や収入がえられないのか？と疑問になります。義務教育修了者にも分かるような平易な式で表すのが高等技量のはずです。
専門書は昔の式のコピペばかりで作者自身が本当に理解しているのか？と疑問になることが多々あります。
syougekihaさんと同様に感じているのだと思います。

回答No.4

sat000

まだ数式が語りかけてくれていないのでしょうね。
Navier-StokesやMaxwell方程式のように完成された数式は丸覚えしてもまあ良いのですが、より一般的なアプローチとしては、各項の意味を知ることだろうと思います。
座標を時間微分すると速度になりますよね。座標は二階微分にすると加速度。これを知っていれば運動方程式を作れます。例えば、
m(d^2x/dt^2)=F-kv^2
というように。左辺は加速度に質量を掛けているから力です。一方右辺は、Fは質量mを押す力、-kv^2は空気抵抗でブレーキになる力です。これらが常に成り立っていますよねというのが＝です。
温度をTとすると、dT/dx は温度勾配と呼ばれます。これに熱伝導率κ [W/(m K)]を掛けると、-κ(dT/dx)は熱流束 [W/m^2] です。負号は温度の傾きと逆方向に熱が流れることを示します。ある境界(壁等)において、熱の入りと出の差が無いというのが熱流束のバランス方程式になります。差がある場合は、境界に発熱源あるいは吸熱源があることになりますので、差＝発熱/吸熱の熱流束という式に書き換えれば良いです。一方拡散はD(d^2T/dx^2)と書きます。温度を使ったのでこの場合は熱拡散です。濃度拡散は温度を濃度に置き換えれば良いです。
要するに想定する現象に対して、対応する項を足したり引いたりして方程式を作っているのです。それを理解すれば自ずと式が語りかけてきます。

回答No.3

kaitara1

話が逆ではないでしょうか。何か興味がある現象があったとき、その現象が微分や積分を使うと、何か新しい見方ができるかどうかを考えるということではと思います。微分積分以前に、自分が本当に不思議だと思えるような対象を探すことが一番難しいのでは。

回答No.2

leo-ultra

> 高校で勉強した物理の方程式を微分積分を利用して解を得るというその考え方を作る方法がわかりません。

高校で既に習ってわかっている力学を、大学では単に微積分を使ってやるだけだと思っていると、
ダメだと思います。　高校までの物理は単なる予備知識だと思った方がいいです。

大学に入って初めて物理学を始めると思った方がいいです。
物理学というのは、微積分を使ってやる学問です。
微積分を使わなかった高校での物理は、お子様用に易しくした予備知識です。

大学の力学の教科書やら問題集をやって、微積分を使った物理学に慣れるしかないと思います。

回答No.1

-ruin-

ざっくりいうと波形のこれまでの動きから次の動きを予想するということができます。