微分方程式

質問

こんにちは。微分方程式の問題が解けなくて困っています。

次のx(t)に関する微分方程式
d^2x/dt^2=-1/x^2
ただし初期条件はt=0でx=X0(x0>0）,dx/dt=√２であるとする。

問題　与式の両辺にdx/dtを乗じて積分することにより、初期条件を満たすxについての1階微分方程式をもとめよ。
必要ならば、公式d/dt(dx/dt)^2=2*(dx/dt)*(d^2x/dt^2)

少し問題の書き方がおかしいかもしれませんが（微分の書き方）どなたかお願いします。

自分なりにといたのですが
与式の両辺にdx/dtをかけて
dx/dt(d^2x/dt^2)=-1/x^2*(dx/dt）
与えられた公式をつかい
(1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-dx/dt*(1/x^2)
∫(1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-∫dx/dt*(1/x^2)　?????

と与えられたヒント通りにしてそこからどうしたらいいのかわからなくなってしまいました・・・

回答No.1

proto · ベストアンサー

(1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-dx/dt*(1/x^2)
の両辺をtで積分
　(1/2)*(dx/dt)^2 = -∫{(1/x^2)*dx/dt}dt
右辺に置換積分法を用いる
　(1/2)*(dx/dt)^2 = -∫{(1/x^2)}dx

左辺の変形について、
(1/2)*d/dt*(dx/dt)^2は(1/2)*(dx/dt)^2をtで微分したものだから、
逆に(1/2)*d/dt*(dx/dt)^2をtで積分すると(1/2)*(dx/dt)^2、
すなわち
　∫{(1/2)*d/dt*(dx/dt)^2}dt = (1/2)*(dx/dt)^2 +C

補足

ありがとうございます！
このあとに、
(2)X0=1としてこの微分方程式をとけ
(3)0<X0<1のときtが0以上で変化する場合x(t)の最大値をもとめよと続くのですがこれもよくわかりません。

さきほどの答えは1/2(dx/dt)^2=1/x+1-1/x0と求まり
これがx0=1のとき
1/2(dx/dt)^2=1/xを因数分解し
(dx/dt-√(2/x))*(dx/dt+√(2/x))=0
で答えが(2/3*x^(3/2)-2t-C)(2/3x^(3/2)+2t-C)と求まりました。
(3)はどうしたらまずどうしたらいいのかよくわからないです。
(2)の答えもあっているかどうか怪しいですが、お願いします。

回答No.3

Sonntag

(訂正）
積分定数　もう１つ追加
x'^2-2/x=±2ω＾2
x'=(±2ω＾2+2/x)^(1/2)
x'=(±2ω＾2+2/x)^(1/2)
√2dt/dx={±ω＾2x+1)/x}^(-1/2)
ω=0のとき
3/√2(t+C)=x^(3/2)
等号＋のとき
A={(ω＾2x+1)/x)}^(1/2)とすれば
2√2ω＾3(t+C)=log[(A-ω)/(A+ω)]+2xωA
等号-のとき
A={(-ω＾2x+1)/x)}^(1/2)とすれば
√2ω＾3(t+C)=-atan(A/ω)+xωA

回答No.2

Sonntag

2x'd^2x/dt^2=-2x'/x^2
x'^2-2/x=0
x'=√2x^(-1/2)
x^(1/2)x'=√2
2/3x^(3/2)=2/3C+√2t
x=(C+3t/√2)^(2/3)