微分方程式の問題です

質問

天井から円錐台(台形を半分に切り回転させた形)の鉄鋼製のケーブルがつりさげられている。先端からの距離をｘ、先端の断面積をSo、断面の半径ｒ、先端の断面の半径をｒ0、密度をｐ、重力加速度をｇとするとき、先端からｘのところの断面積はどのように変化させれば、引っ張り応力が常に同じになるか？という問題です。ちなみに、引っ張り応力＝下への引っ張り力/断面積で与えられます。
いろいろ考えてみたのですが、全く微分方程式が立てられません。教えてください。
よろしくお願いします

回答No.2

rnakamra

#1のものです。
> 多分答えはS(x)=S(0)exp(pgx)ですね。合ってますか？？

違います。
exp()の中の次元は無次元でなければなりませんが、この式を見る限り次元がないとは言えません。

#1の回答にある定数"c"の存在が消えてしまっています。この"c"がexp()の中に影響を与えます。質問分にある条件を見る限りこの"c"を決定することはできないと思われますので"c"はそのまま残ることになりそうです。

回答No.1

rnakamra

思いつく限りで二つの方法があります。

1.先端からxの断面にかかる引っ張り力/先端からxのところの断面積:一定
の関係を式にする。

先端からxのところの断面積をS(x)とすると、先端から0～xの部分の体積V(x)は
V(x)=∫[0→x]S(z)dz
となります。

先端から0～xの部分の質量はpV(x),その分の重量はpgV(x)です。
先端からxの断面にかかる引っ張り力/先端からxのところの断面積:一定の関係 を式にすると
pgV(x)/S(x)=c → cS(x)=pgV(x)=pg∫[0→x]S(z)dz
この式の両辺をxで微分してみましょう。

2.先端からx～x+δxの領域における力の釣り合いを考える
先端からx～x+δxの領域にかかる力は次の3つです。
a.先端からxの断面にかかる引っ張り力cS(x)
b.先端からx+δxの断面にかかる引っ張り力cS(x+δx)
c.その部分の領域にかかる重力pg*δx*{S(x)+S(x+δx)}/2

a,cが下向き、bが上向きでその力が釣り合っているのですから
cS(x)+pg*δx*{S(x)+S(x+δx)}/2=cS(x+δx)

cS(x)を移項してさらに両辺をδxで割ります。さらにδx→0とするとS(x)に関する微分方程式が得られるでしょう。

お礼

ありがとうござました。解決しました。
多分答えはS(x)=S(0)exp(pgx)ですね。合ってますか？？