絶対収束するかという問題です。

質問

絶対収束するかという問題です。
Σ(n=1→∞) {(n!z^n)/n^n}が|z|<eで絶対収束するか？という問題で，
ダランベールの判定法を使うのだと思うのですが，
lim(n→∞) {(n!z^n)/n^n}<1？っていう状態で・・・。
どなたか解説お願いします。
あと，もう一問
Re(z[n])≧0のz[n]に対して，Σ(n→∞) z[n]，Σ(n→∞) (z[n])^2がともに収束するならば，Σ(n→∞) |z[n]|^2も収束することを示せという問題もできればお願いします。

回答No.1

hopper0024 · ベストアンサー

ダランベールの判定法と判っているのなら、そのまま適用。
a_n=(n!z^n)/n^nとおけば、
|a_{n+1}/a_n|=|(n+1)!z^{n+1}n^2/{n!z^n(n+1)^{n+1}}|=|(n/(n+1))^n||z|
lim_{n->∞}(n/(n+1)^n)=1/e　だから、|z|/e<1 のとき、つまり　|z|<eのとき絶対収束。

もう一問は、実部と虚部に分けて考えましょう。
z_n=a_n+b_niとおくとき、２つの仮定から
Σa_n,Σb_n,Σ(a_n^2-b_n^2),Σ2a_nb_nが収束します。a_n>=0という条件を使って、
Σ(a_n^2+b_n^2)が収束することを示せばよい。

Σa_nが収束するのでlim_{n->∞}a_n=0 したがって、全てのn>Nに対して　1>a_n>=0　となる
Nが存在する。そのとき、a_n>=a_n^2>=0 となるので、Σ_{n=N}^{∞}a_n>=Σ_{n=N}^{∞}a_n^2
となるので、Σa_nの収束から、Σa_n^2も収束する。
Σ(a_n^2-b_n^2)が収束するから、Σb_n^2も収束することがいえて、
めでたく、Σ(a_n^2+b_n^2)が収束!!

お礼

一問目はダランベールだと自分で言ってるのに，|a_{n+1}/a_n|を求めてませんでした。。。
詳しい解説ありがとうございました＾＾