数列の収束と極限の問題

質問

数列の収束と極限の問題

はじめまして。最近数学を少し勉強し始めた者です。
頭の出来が良くない故、また独学故に多く質問させて貰うかもしれませんがよろしくお願いします。

a[1] = root(2), a[n+1] = root(2a[n])で定義される数列{a[n]}が収束することを証明し、極限値lim a[n] を求めよという問題なのですが、分かりません。
収束は、ダランベールの判定法を使おうと思い、lim a[n+1]/a[n] = lim root(2a[n])/a[n] = lim root(2/a[n]) まで求めたのですが、これが1より小さいことが分かりません。
極限値のほうは全然です。

どなたかご助言お願いします。

回答No.2

Tacosan

a[n] の 2 を底とする対数を b[n] とすると
b[1] = 1/2, b[n+1] = 1/2 + b[n]/2.
これは簡単に解けるだろう.
厳密に言うと, (これを念頭においてもいいけど) 極限値 α = lim a[n] をあらかじめ求めておいて, そのうえで lim |α - a[n]| = 0 を示すのが安全かもしれない.

回答No.1

makky0503

2を底とする対数をとれば、高校範囲ではないですか？
ちなみに根本的に間違ってるのは、ダランベールの判定法は級数の収束判定法であり、数列の収束判定法ではありません。