絶対収束列(Absolute Convergence)

質問

次のような問題を解いています。解答の筋道が通っているかどうか、どなたかご教授お願いします。

1. Σ(n=1-->∞) sin[π(n+1)/n]

2. Σ(n=1-->∞) sin^2[π(n+1)/n]

が絶対収束であるかどうかを調べよ。

解答：
1. Σ(n=1-->∞) |Ak| がある値に収束すればこの数列は絶対収束である。これをテストするにはroot testやratio testなどを用いるのが一般だと思うんですが、以下の方法は正しいでしょうか？

lim(n=1-->∞) [{|sin π(n+1)/n|}/{π(n+1)/n}]=0/π=0
よって限界比較テスト？(limit comparison test)より、Σ(n=1-->∞) π(n+1)/n　が収束するので、Σ(n=1-->∞) sin[π(n+1)/n] は絶対収束てある。　　

1.と同じ様に2.も解けるのですが、それだと二つ質問している意味が無い様にに思われます。ですので解答がなにか物足りないのかと思っています。どなたかどうかご教授おねがいします。

回答No.3

mathman · ベストアンサー

使っている比較判定法は、
「正項級数Σa_nに対して、ある正項級数Σb_nが存在し、
lim_{n -> ∞}a_n/b_n = c (0 < c < ∞)であるとき、
Σa_nとΣb_nは同時に収束or発散する」
という形で適用しているとお見受けするのですが・・・
（a_n = |sin π(n+1)/n|、b_n = π(n+1)/nとして）
そうであれば、lim_{n -> ∞}a_n/b_n = 0というのはいけないと思われます。
それともう一つ。こちらの方は重大な間違いです。

>Σ(n=1-->∞)π(n+1)/nが収束するので、・・・

とありますが、Σ(n=1-->∞)π(n+1)/nは発散します。
ところで、問題の級数はΣ(n=1-->∞) sin[π(n+1)/n]で合っていますか？
ひょっとしたら、
Σ(n=1-->∞)[sin π(n+1)]/n
ではないでしょうか？

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳ありません。ご指摘の通りΣ(n=1-->∞)π(n+1)/nは発散します。どうもありがとうございました。うまく解けたかどうかはまだ未解明ですがご指摘ありがとうございました。

回答No.2

guuman

0≦ε≦π/2のとき
2・ε/π≦sin(ε)≦ε
を使う

ε=π/n

お礼

ご意見ありがとうございました。

回答No.1

yumisamisiidesu

1.を利用すると2.がすぐ分るということではないでしょうか.

お礼

だといいんですがそうでもないようでした。ご返事ありがとうございました。