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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束はどうやってわかりますか?）
Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束判定と収束値の求め方
このQ&Aのポイント
- Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束・発散を吟味して収束ならその和を求めようとしています。lim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|=lim[n→∞]|((-1)^(n+1)/(n+1))/((-1)^n/n)|=lim[n→∞]|-n/(n+1)|=1で判定不能になってしまいました。そして収束という前提で収束値を求めてみた結果、log(1+x)=Σ[n=1..∞] {(-1)^{n-1}/n}・x^nとなり、x=1代入でlog2 =Σ[n=1..∞] (-1)^(n-1)/nとなりましたが、これで正しいでしょうか?
- Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束性と収束値についての調査を行っています。具体的には、lim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|の値を求めることによって収束・発散を判定し、収束している場合は和を求める方法を検討しています。しかし、lim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|=1となり判定不能となってしまいました。どのような方法を用いれば適切な判定ができるのでしょうか?また、収束値を求める方法としてlog(1+x)=Σ[n=1..∞] {(-1)^{n-1}/n}・x^nを用いてx=1代入した結果、log2 =Σ[n=1..∞] (-1)^(n-1)/nとなりましたが、これが正しい結果なのか知りたいです。
- Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束と収束値について質問です。収束・発散の判定にはlim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|を使用しましたが、結果が1となり判定ができませんでした。どのような方法を使えば判定ができるのでしょうか?また、収束値を求める方法としてlog(1+x)=Σ[n=1..∞] {(-1)^{n-1}/n}・x^nを用いてx=1代入した結果、log2 =Σ[n=1..∞] (-1)^(n-1)/nとなりました。この収束値の求め方は正しいのでしょうか?
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noname#50894
回答No.1
> Σ[n=0..∞](-1)^n/n n=0で定義されないので、この表現はおかしいです。 一般に、 a_1≧a_2≧…a_n≧… a_n≧0（n=1,2,…） lim[n→∞]a_n=0 であれば、Σ[n=1,∞]{(-1)^(n-1)}a_nは収束する。 この命題は、実数の連続の公理（のいくつかの同値な命題の中の一つ） ・上に有界な単調増加数列は収束する（⇔下に有界な単調減少数列は収束する） にもとづいて証明されます。 （証明の概略） s_n=Σ[k=1,n]{(-1)^(k-1)}a_k、とおくと、 数列｛s_(2n)｝は単調増加数列：s_2≦s_4≦…≦s_(2n)≦… 数列｛s_(2n-1)｝は単調減少数列：s_1≧s_3≧…≧s_(2n-1)≧… かつ s_(2n-1)≧s_(2n) 従って、｛s_(2n)｝は上に有界であり、｛s_(2n-1)｝は下に有界であり、 数列｛s_(2n)｝、｛s_(2n-1)｝の各々は収束する。 更に、lim[n→∞]{s_(2n)-s_(2n-1)}=0から、各々が同じ値に収束することがいえる。 よって、数列｛s_(n)｝は収束する。＝以上＝ >log(1+x)=Σ[n=1..∞] {(-1)^{n-1}/n}・x^n >x=1代入で，log2 =Σ[n=1..∞] (-1)^(n-1)/nとなりましたがこれで正しいでしょうか? これは、正しいです。 ・“実数の連続の公理”のいくつかの命題の関係については、例えば、 ・東京大学出版会・杉浦光夫著「解析入門I（第I章§3）」 一度、眼を通しておいた方が、良いと思います。
お礼
>>log(1+x)=Σ[n=1..∞] {(-1)^{n-1}/n}・x^n >>x=1代入で，log2 =Σ[n=1..∞] (-1)^(n-1)/nとなりましたがこれで正しいでしょう > か? > これは、正しいです。 > > ・“実数の連続の公理”のいくつかの命題の関係については、例えば、 > ・東京大学出版会・杉浦光夫著「解析入門I（第I章§3）」 > 一度、眼を通しておいた方が、良いと思います。 ありがとうございます。おかげ様で無事解決できました。