大学の解析学の問題です。

質問

Σ[n:1→∞]a[n]とΣ[n:1→∞]b[n]について
b[n]＞０（∀ｎ∈Ｎ（自然数））、Σ[n:1→∞]b[n]は収束、|a[n+1]/a[n]|<｛b[n+1]/b[n]｝（∀ｎ∈Ｎ）
という条件の時、Σ[n:1→∞]a[n]が収束することを示す問題です。
ダランベールの判定法や絶対収束の定義を使うなどして解けるものなのかと考えていたのですが、わかりません。
できるだけ簡単な方法で証明をお願いします。
わかる方よろしくお願いします。

回答No.2

noname#199771

#1の通りなのですが、概略を書きます。

まず数列(|a[n]|/b[n])が単調減少列であることを示します。

つぎに0<p<qなる整数p,qを取ると、
|a[p+1]+…+a[q]|
≦|a[p+1]|+…+|a[q]|
<(1+(b[p+2]/b[p+1])+…+(b[q]/b[p+1]))|a[p+1]|
=(b[p+1]+…+b[q])|a[p+1]|/b[p+1]
となることを言います。
これで終わり。

回答No.1

Tacosan

|a[n+1]/a[n]|<｛b[n+1]/b[n]｝（∀ｎ∈Ｎ）
で
Σ[n:1→∞]b[n]は収束
だから
Σ[n:1→∞]a[n]
は絶対収束する.