無限級数の問題

質問

実数ａが正の整数でないならば

　　　Σ１／ｎ － １／（ｎ－ａ）　ｎは１→∞

は絶対収束することを示せという問題

なのですが、ダランベールの判定法を使うと１になって判定不能になってしまいました。

ａが与えられていれば高校でやったようにできますけども、このａの振る舞いをうまく扱えません。

どなたかお力をお貸しいただけないでしょうか？

回答No.2

yyyyyy · ベストアンサー

難しく考えず、基本に戻ってやってみましょう。

まず、級数Σ_{n=1}^{∞}x_{n}が『絶対収束する』というのは、級数Σ_{n=1}^{∞} |x_{n}| が収束することでした。さらに、絶対収束すれば、元の級数も収束していましたね。

では、問題の級数が絶対収束することを調べましょう。
自然数n_{0}を n_{0}>a となるような一番小さい自然数とします。
例えば、a=-2 のときは n_{0}=1、 a=2.5 のときは n_{0}=3 となりますね。

もし、n<n_{0}なら、
1/n - 1/(n-a) > 0
ですし、n>n_{0}なら
1/n - 1/(n-a) < 0
であることに注意すると、
Σ_{n=1}^{∞} | 1/n - 1/(n-a) |
=Σ_{n=1}^{n_{0}-1} (1/n - 1/(n-a)) - Σ_{n_{0}}^{∞}(1/n - 1/(n-a))
となります。
右辺の第一項目は収束に関係しないので、第２項目のみを議論しましょう。

Σ_{n_{0}}^{∞}(1/n - 1/(n-a))
= lim_{N->∞}Σ_{n_{0}}^{N}(1/n - 1/(n-a))
= lim_{N->∞}( 1/N - 1/(n_{0}-a) )
= -1/(n_{0}-a)
ですから、結局
Σ_{n=1}^{∞} | 1/n - 1/(n-a) |
= Σ_{n=1}^{n_{0}-1} (1/n - 1/(n-a)) + 1/(n_{0}-a)
と収束していることがわかります。

ちなみに、n_{0}=1だと、
Σ_{n=1}^{n_{0}-1}=Σ_{n=1}^{0}
となってしまいますが、このようなときはΣ_{n=1}^{n_{0}-1}は考えないと約束しましょう。

お礼

単純に考えたら、ａが正の整数ならどこかで分母が０になるというだけなんですね。
やはり、式変形が良く解らないのですがもう少し考えてみようと思います。
回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。ただ第二項目の議論で二行目から三行目に移るところが良く解らないのですが。すみませんよろしければ説明していただけませんか？お願いいたします。

回答No.1

noname#108554

Cauchyの積分判定法を使いましょう。

f(x)は[1,∞]で単調減少・正値連続関数とする。
Σ_[n=1,∞]f(n)と∫[1,∞]f(x)dx
の収束性は一致する。

お礼

回答ありがとうございます。勉強不足ものでCauchyの積分判定法なるものをしりませんでした。しっかり勉強させていただきます。
ありがとうございました。