（X，U）を位相空間，A⊂Xとします．

質問

（X，U）を位相空間，A⊂Xとします．

このとき，
「Aが閉集合 ⇒ A＝A'」
の証明が分かりません．
A'はAの閉包（A∪{Aの集積点}）です．

{Aの集積点}∩Aの補集合≠Φ
になることを示せばいけそうなのですが出来ません．Aの補集合の元はAの集積点でないことを背理法示そうと思ったのですが上手くいきませんでした．また，Aが閉集合だという条件もどこで使えばいいのか…．そもそも証明の仕方が違うのでしょうか？

よろしくお願いいたします．

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

>{Aの集積点}∩Aの補集合≠Φ
ではなく、
>{Aの集積点}∩Aの補集合=Φ
を示す必要があります。
Aが閉集合 ⇒ Aの補集合は開集合
⇒ Aの補集合の任意の点xに対し、xの適当な近傍UをとるとUはAの補集合に含まれる
よってxはAの集積点ではない。

回答に自信のあり、なしとか、専門家とか一般人とか記入する欄はどうしてなくなってしまったんでしょうねー。これまで権威ある専門家の自信あふれる御回答に浅学非才の私は多大な御教示を頂いていたのに残念ですねー。"a catastrophe in the sense of Thom [3] and Arnol'd [4]."という文を「トムのカタストロフィーとは無関係」という独創的な訳を頂いたとこがあります。
http://okwave.jp/qa/q1631988.html
私には、これが「トムのカタストロフィーとは無関係」という意味だとは思いもよりませんでした。

回答No.4

muturajcp

xはAの集積点←def→(x∈V∈U,Vは開集合ならば　V∩(A-{x})≠φ)

Aが閉集合
A'≠A　と仮定すると　
A'-A≠φ　だから
x∈A'-A となる x　がある
x∈A'-A⊂X-A
X-A(∈U)開集合
xはAの集積点だから
(A-{x})∩(X-A)≠φ=(A-{x})∩(X-A)
となり矛盾するから
A'=A

回答No.2

kabaokaba

まずは
・閉集合の定義
・集積点の定義
・開近傍の定義
を明確にすること．
それと，二つの集合が等しいことを示すときの
定番の論法をきっちり使えばいい．

ちょっとだけ頭の切り替えがいるけど難しくはない

回答No.1

koko_u_u

>{Aの集積点}∩Aの補集合≠Φ
>になることを示せばいけそうなのですが出来ません．

逆だね。

>Aの補集合の元はAの集積点でないことを背理法示そうと思ったのですが上手くいきませんでした．

どううまく行かないか補足にどうぞ。