位相空間への全射について

質問

位相空間への全射について

位相空間と写像について学習している者です。

質問させていただきます。

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集合Xから位相空間(Y,μ)への全射fがあるとき、

Т ＝ {(1/f)(U)|U∈μ}とおくとき、ТがX上の位相であることを証明せよ。

※(1/f)はfの逆関数を示します。

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これを証明したいのですが、道筋が見えません。。。

ご教授よろしくお願いいたします。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

>で良いですかね？
>
>(1)'はТの任意の部分集合Т'に対して、Т'の元の和集合がТの元である
>というふうに言ったほうがよいですか？というか、言わないといけないですか？
>
>このあたりの、位相の定義の理解が若干甘いような自覚があります。。。

そうですね．甘いです．
初学者といっているのですから
妙な省略はせずに，きちんとすべて書きましょう．
省略しすぎです．
きちんと位相の定義の条件にしたがって丁寧に書きましょう．

そもそも「有限・無限」に無頓着なのはダメです．
位相の初歩の授業のテストの答案だと思って私が採点するなら
10点のうち5点はいかない点数にします．
致命的なのは「有限・無限」が間違っていること．
厳しい先生なら0点でもおかしくありません．

お礼

Тの任意無限個の元T_1,T_2,・・・,T_nに対してそれらの共通集合がТの元である

ですね。位相の定義は。

もう一度、開集合や閉集合、そして、位相の定義を厳密に理解することからじっくり勉強しなおしてから、証明はつくりなおします。

ありがとうございました。

回答No.3

kabaokaba

iは添え字です．
厳密には∩，∪につけるのですが
煩雑になるので省くことも多いです．

本当に教科書にのってませんか？
他の書籍は見ましたか？

逆像の性質のもっとも基本的なもので，
写像と位相空間の組合わせではきわめて多用されます．
というか。。。無意識に使われます．

あなたが教科書から「見つけた式」の一般形です．
これがどういう形になるのかを予想して証明すればいいのです．
あとは「位相の定義」にしたがって
きちんと書けば終わりです．

==
f(∩U_i)と∩f(U_i)，
f(∪U_i)と∪f(U_i)
の関係も基本です．知らなければ考えるか調べておきましょう．
そうすると位相関係で「逆像」で定義するものが
そこそこ存在するのがなぜかなんとなくわかります．

お礼

何度も回答ありがとうございます。

教科書みなおしたら載っていました。
というか、記載の仕方が違っていたので気がつきませんでした。

で、だいたいは理解できてきました。

f^{-1}(∩ U_i) ＝ ∩f^{-1}(U_i) ・・・ (1)
f^{-1}(∪ U_i) ＝ ∪f^{-1}(U_i) ・・・ (2)

ここから、位相の定義を導くのですね。

∪ U_iも∩ U_iも、μの元になるので、
f^{-1}(∪ U_i)も、f^{-1}(∩ U_i)もТの元になる

つまり、

Тの任意有限個の元T_1,T_2,・・・,T_nに対してそれらの共通集合がТの元である ・・・ (1)'
Тの任意有限個の元T_1,T_2,・・・,T_nに対してそれらの和集合がТの元である ・・・ (2)'

ということが言えるので、ТはX上の位相である。

で良いですかね？

(1)'はТの任意の部分集合Т'に対して、Т'の元の和集合がТの元である
というふうに言ったほうがよいですか？というか、言わないといけないですか？

このあたりの、位相の定義の理解が若干甘いような自覚があります。。。

回答No.2

kabaokaba

f^{-1}(∪ U_i)
f^{-1}(∩ U_i)
がそれぞれどうなるか知りませんか？

補足

コメントありがとうございます。

> f^{-1}(∪ U_i)
> f^{-1}(∩ U_i)
> がそれぞれどうなるか知りませんか？

すいません。教科書確認しましたが、載っていません。
ということで、知りません。

というか、_iは何を表していますか？

別途、教科書を見直していたら、

f^{-1}(A ∩ B) = f^{-1}(A) ∩ f^{-1}(B)
f^{-1}(A ∪ B) = f^{-1}(A) ∪ f^{-1}(B)

あたりの定義が使えそうかと思いましたが、見当はずれでしょうか？

回答No.1

kabaokaba

「位相の定義」と
「逆像」「集合の合併」「集合の共通部分」の性質を使うだけです．
集合の基礎を教科書で見直しましょう．

なお,逆写像は f^{-1} とかくのが普通であり
逆数のような 1/f なんてものは誤解を招くだけです．
なお，``^''は上付き添え字を示す標準的な記法です．

お礼

ご回答ありがとうございます。

> なお,逆写像は f^{-1} とかくのが普通であり
> 逆数のような 1/f なんてものは誤解を招くだけです．
> なお，``^''は上付き添え字を示す標準的な記法です．

ご指摘ありがとうございます。
以後、そのように表記します。

で、証明方法なのですが、

fが全射より、

f^{-1} (Y) ＝ X

また、

f^{-1} (0) ＝ 0

よって、

ТはXよび、空集合0を含む

という位相の定義の第一条件は示せるのですが、あと二つが示せないのです。。。

もう少し、具体的にヒントをもらえませんか？