位相空間における集積点

質問

Ｕ(n)={n∈Ｎ|n,n+1,n+2,…}
Ｏ={Φ}∪{Ｕ(n)}
と与えられています。(Ｎ：自然数、Φ：空集合)
(Ｎ,Ｏ):位相空間におけるＡ={1,3,5,7,9}の集積点を求める問題で、質問があります。

私が解いた結果、集積点は 1,2,3,4,5,6,7,8 だなって思ったんです。(これあってますよね？？)
で、問題はその後なんですけど、９以上の自然数が集積点でないことを示した方がいいですよね。その場合、

9≦x∈Ｎ については、
　x∈Ｕ(n)となるＵ(n)は 1≦n≦x だが、
　Ｕ(i)∩Ａ=Φ　(for i≧9, i∈Ｎ)
したがって９以上の自然数は集積点ではない。

っていう証明で、示せてますか？？なんか論理的じゃない気がして…。アドバイスしてもらえませんか。よろしくお願いします。

回答No.1

31415926 · ベストアンサー

> Ｕ(i)∩Ａ=Φ　(for i≧9, i∈Ｎ)
のところは正確には
Ｕ(9)∩Ａ={9}
Ｕ(i)∩Ａ=Φ　(for i≧10, i∈Ｎ)
ですが，それ以外はこれで合っています．

Nの元nがAの集積点でない
⇔nを含むある開集合OでO∩(A-{n})=Φ
　となるものがある
⇔U(n)∩(A-{n})=Φ であり，最後の式は
n=9のときはＵ(9)∩Ａ={9}より正しく
nが10以上のときはＵ(i)∩Ａ=Φ　(for i≧10, i∈Ｎ)
より正しい，というわけです．

お礼

回答、本当にありがとうございます。
細かなところまで目を通していただいて、助かりました。
確かにＵ(9)とＡの共通部分は空集合じゃないですね…。
代わりに
Ｕ(9)と(Ａ-{9})の共通部分は空集合だから集積点ではない
ってのを付け加えれば良いですよね！？
とても助かりました。
ありがとうございました。