直積位相空間について

質問

以下の命題の証明の仕方が分かりません。

「(A_1, O_1), (A_2, O_2): 二つの位相空間,
(A_1×A_2, O): (A_1, O_1) と (A_2, O_2) の直積位相空間,
X_1⊆A_1, X_2⊆A_2,
X_1 と X_2 は共にコンパクト,
W∈O s.t. (X_1×X_2)⊆W

であるとき、

ある U_1∈O_1, U_2∈O_2 で、

X_1⊆U_1, X_2⊆U_2, (U_1×U_2)⊆W

を満たすものが存在する」

証明の方針だけでも教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

任意の(a,b)∈X_1×X_2⊂Wに対して
(a,b)∈U(a,b)×V(a,b)⊂W
U(a,b)∈O_1,V(a,b)∈O_2となる
U(a,b),V(a,b)が存在する
(U(a,b),V(a,b)は(a,b)に関係(依存)するのでこう表記する)
X_1⊂∪_{a∈X_1}U(a,b)
だから
{U(a,b)}_{a∈X_1}はX_1の開被覆となる
X_1はコンパクトだから
{a(k,b)}_{k=1～n_b}⊂X_1が存在して
X_1⊂∪_{k=1～n_b}U(a(k,b),b)
となる
(n_b,a(k,b)はbに関係(依存)するのでこう表記する)
V_b=∩_{k=1～n_b}V(a(k,b),b)
とすると
X_2⊂∪_{b∈X_2}V_b
だから
{V_b}_{b∈X_2}はX_2の開被覆となる
X_2はコンパクトだから
{b_j}_{j=1～m}⊂X_2が存在して
X_2⊂∪_{j=1～m}V_{b_j}
となる
U_2=∪_{j=1～m}V_{b_j}
U_1=∩_{j=1～m}∪_{k=1～n_b_j}U(a(k,b_j),b_j)
とすると
X_2⊂U_2=∪_{j=1～m}V_{b_j}
となり
任意のb_jに対して
X_1⊂∪_{k=1～n_b_j}U(a(k,b_j),b_j)
だから
X_1⊂U_1
となり
X_1×X_2⊂U_1×U_2
となる
(x,y)∈U_1×U_2とすると
y∈U_2=∪_{j=1～m}V_{b_j}
y∈V_{b_j}=∩_{k=1～n_b_j}V(a(k,b_j),b_j)
となるb_jがある
x∈U_1=∩_{j=1～m}∪_{k=1～n_b_j}U(a(k,b_j),b_j)
x∈∪_{k=1～n_b_j}U(a(k,b_j),b_j)
x∈U(a(k,b_j),b_j)
となるkがある
y∈V(a(k,b_j),b_j)
(x,y)∈U(a(k,b_j),b_j)×V(a(k,b_j),b_j)⊂W
∴
X_1×X_2⊂U_1×U_2⊂W

お礼

回答ありがとうございます。
コンパクト性がどこで効いてくるのか全く見当もつかず、
困っていたのですが、この証明でようやく分かりました。

回答No.2

sphere_aki

積位相について、以下の命題が成り立ちます。
WをA_1×A_2の開集合とすると、任意の(x,y)⊂Wに対して、xの開近傍Uとyの開近傍Vが存在して、U×V⊂Wとなる
これと、X_1とX_2がコンパクトであることを用いると解けると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_u

＞証明の方針だけ

X_1、X_2がコンパクトであることを使用する。

お礼

回答ありがとうございます。