数学の質問です！

質問

数学の質問です！

π＝140 Σｎ=1→∞{(2n-2)!!／(2n-1)!!}(2／100)^n＋（632／3)Σn=1→∞{(144／100000)＾ｎ}

Σの右の数字はnが1から∞ということです。
見にくいですがお願いします。
全く分からず困っています…

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

No1様ご指摘の、係数抜け落ちを補って計算してみました。

右辺
=140 Σｎ=1→∞{(2n-2)!!／(2n-1)!!}(2／100)^n＋
　（632／3)Σn=1→∞{(2n-2)!!／(2n-1)!!}(144／100000)＾ｎ

下記の公式（※）を用います。
∫[θ=0→π/2](cosθ)^(2n-1)・ｄθ=(2n-2)!!/(2n-1)!!

Σn=1→∞{(2n-2)!!/(2n-1)!!}r^n　（但し|r|<1)
=Σn=1→∞[r^n・{∫[θ=0→π/2]{(cosθ)^(2n-1)}ｄθ]
=∫[θ=0→π/2][Σn=1→∞{r^n・(cosθ)^(2n-1)}]ｄθ　（収束半径内で∫⇔Σの順序交換）
=∫[θ=0→π/2][rcosθ/(1-r(cos2θ)^2]dθ　　（|rcos^2θ|<1）
=∫[t=0→1][r/(rt^2+(1-r)]dt　（sinθ=tとおいた）
=∫[t=0→1][1/(t^2+s^2)]dt　　(s^2=(1-r)/rとおいた）
=atan(1/s)/s

以上から,
右辺第1項=20atan(1/7)　（r=2/100よりs=7）
右辺第2項=8atan(3/79)　（r=144／100000よりs=79/3）

両辺を4で割りさらにその正接(tan)をとると、
tan(π/4)=tan(5atan(1/7)+2atan(3/79))

α=atan(1/7)、β=atan(3/79)とおくと、
右辺=tan(5α+2β)
={tan(5α)+tan(2β)}/{1-tan(5α)tan(2β)}

tan(5α)=2879/3353　（tanの加法定理より）
tan(2β)=237/3116　（同）
したがって、右辺=(2879・3116+474・3353)/(3353・3116-289・474)=1=tan(π/4)

（※）
I(2n-1)=∫[θ=0→π/2](cosθ)^(2n-1)・ｄθ
=∫[θ=0→π/2](dsinθ/dθ)・(cosθ)^(2n-2)・ｄθ
=[sinθ・(cosθ)^(2n-2)]_[θ=0～π/2]+(2n-2)∫[θ=0→π/2](cosθ)^(2n-3)・(1-(cosθ)^2)ｄθ
=(2n-2)(I(2n-3)-I(2n-1))

故に、I(2n-1)=(2n-2)/(2n-1)・I(2n-3)
　=…=(2n-2)!!/{(2n-1)!!/1}・I(1)=(2n-2)!!/(2n-1)!!

回答No.1

noname#152421

2番目の和の中身について、係数

{(2n-2)!!／(2n-1)!!}

が抜けていませんか？

もしそうなら、参考URLを貼っておきますのでご覧ください。
係数の見た目が違っていますが、計算すれば一致することがわかります。
言及されているオイラーが見つけた公式自体の証明はそこには載っていません。

なお、そのページの該当箇所にある最後の等式には誤植があるのでご注意ください。

参考URL：

http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/plt/matumoto/pi_small/node6.html#SECTION00232000000000000000