数学IIIのはさみうちの原理について質問があります。

質問

高校数学IIIの参考書（ニューアクション・東京出版）において、以下のような問題が出ていました。　lim(n→∞)n/2^nを求めよ。　この問題の解答が「n≧5のとき2^n>n^2が成り立つことを示す」となっていて以下数学的帰納法でこれを証明して、最後にはさみうちの原理を用いています。　またこの類題でlim(n→∞)n^2/2^nを求めよ。　の解答は「n≧3のとき2^n>n^3/6が成り立つことを示す」となっていて以下二項定理を使用しているのですが、解答（上記の「」内です。）で、なぜこのようにnの数値の範囲とnについての不等式が決定されるのかが分かりません。いったいどこからこのようなnの範囲と不等式が出てくるのでしょうか？他の参考書にも理由は掲載されていませんでした。　どなたか理由を教えて下さい。よろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

>.... lim(n→∞)n/2^nを求めよ。　この問題の解答が「n≧5のとき2^n>n^2が成り立つことを示す」となっていて以下数学的帰納法で
>これを証明して、最後にはさみうちの原理を用いています。.....

　(1) n/2^n よりも値が大きくて(2^n>n^2)
　(2) 収束値をもつ(n/n~2=1/n はゼロに収束)
ような数列として、1/n に着目したのでしょうね。(ゼロに収束する数列よりも小さい非負数列、ということ)
残念なことに、nが4以下だと(1) が成り立つとは限りません。(確かめてください)
そこで「n≧5のとき2^n>n^2が成り立つことを示す」などと、但し書きを添えることになったのです。
どっち道 nをでかくして行くのですから論理的な不都合じゃないのですが、初めて見る人は唐突な違和感を受けるのでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。(1)(2)のような理由があって、参考書はこのような解答を作ったのですね。ご丁寧にありがとうございました。

回答No.2

chie65536

「極限を求める」と言うのが「ｎの範囲と、ｎについての不等式が成り立つ事を示す事」だからです。

言い替えれば「極限を求める」とは「範囲を求める」と言う事です。

極限式をグラフにすると、グラフの線は「ある決まった範囲」に描かれます。グラフ上の「ある決まった範囲」を示すには「不等式」を使います。例えば「ｎが３未満の範囲」を示すには「ｎ＜３」と書きます。

「極限を求めるとは、不等式を導き出し、その不等式が成り立つのを示す事」なのですよ。

質問者さんの疑問は「『0.5を分数で表せ』って問題があるんだけど、なんで解答を『２ぶんの１』って分数にしなければいけないの？『２ぶんの１』ってどっから出て来たの？分母って何？分子って何？」と言う疑問と同じです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞「極限を求める」と言うのが「ｎの範囲と、ｎについての不等式が成り立つ事を示す事」だからです。
このｎの範囲と、ｎについての不等式についてもう少し詳しくお聞きしたかったのですが、私の説明不足みたいでした。すいません。

回答No.1

velvet-rope

n→∞での極限について考察するには、nがある程度大きな値を超えた時の議論をすればいいからです。
n≧3やn≧5に現れる3や5の数字に本質的な意味はありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞n≧3やn≧5に現れる3や5の数字に本質的な意味はありません。
では、「3」や「5」でなくてもよかったのですね。ありがとうございます。
なぜ3や5じゃないといけないのか困っていましたので。