数学的帰納法

質問

こんにちは。よろしくお願いいたします。

nを自然数とするとき数学的帰納法を使って証明する問題です
。

1+3+5+・・+(2n-1)=n^2

まず、n=1を代入しますが、
なぜ(2n-1)とn^2の部分しかつかわないのでしょうか。
n^2というのは1+3+5・・＋(2n-1)を足したものなのに・・

教えてください
よろしくお願いいたします。

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

> 1+3+5+・・+(2n-1)=n^2
>
> まず、n=1を代入しますが、
> なぜ(2n-1)とn^2の部分しかつかわないのでしょうか。
> n^2というのは1+3+5・・＋(2n-1)を足したものなのに・・

左辺の「1 + 3 + 5 + ・・ + (2n-1)」についてですが、
これが「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第n項までの和」を表していることは分かりますか？
「1 + 3 + 5 + ・・ + (2n-1)」の中の一番左の1はa_1を表し、
右隣の3はa_2、その右隣の5はa_3、(2n-1)はa_nを表します。
この点さえ理解(あるいは納得)していれば、話は簡単です。

左辺が「数列a_n = (2n-1)の第1項から第n項までの和」なので、
n = 1の時、左辺は「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第1項までの和」です。
つまり、左辺 = a_1となります。

ついでに、n = 2の時、
左辺は「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第2項までの和」なので
左辺 = a_1 + a_2 = 1 + 3
n = 3の時、
左辺は「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第3項までの和」なので
左辺 = (a_1) + (a_2) + (a_3) = 1 + 3 + 5
n = 4の時、
左辺は「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第4項までの和」なので
左辺 = (a_1) + (a_2) + (a_3) + (a_4) = 1 + 3 + 5 + 7
となります。

「n = 2の時、左辺 = 1+3+5+・・+(2×2-1)にならないのはおかしい」と思うかもしれませんが、
先ほども述べたように、左辺が表したいのは「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第n項までの和」です。
だから『+5+・・+(2×2-1)』の部分が不要になります。

お礼

ありがとうございました。
とっても参考になりました☆

回答No.4

sta14

一般項は
a[k]=(2k-1)　(k=1,2,…,n)

左辺は
S[n]=1+3+5+…+(2n-1)=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n]

n=1のときは
S[1]=a[1]

お礼

ありがとうございました。
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回答No.2

chie65536

n=3の時、1+3+(2n-1)=3^2=9です。
n=2の時、1+(2n-1)=2^2=4です。

これは、書き替えると

n=3の時、(2(n-2)-1)+(2(n-1)-1)+(2n-1)=3^2=9です。
n=2の時、(2(n-1)-1)+(2n-1)=2^2=4です。

つまり

nが3の時、n-2の項、つまり、1から足し始めて、nが3の項まで足す、です。
nが2の時、n-1の項、つまり、1から足し始めて、nが2の項まで足す、です。

では、nが1の時は？

nが1の時、nの項、つまり、1から足し始めて、nが1の項まで足す、です。

判り難いかも知れませんが「始めと終りの項が同じ１」なのです。「足し算をスタートした瞬間に終了する」のです。

なので「ｎ＝１の時は（２ｎ－１）だけになる」のです。

「帰納法」で証明する場合は「ｎが１つ少ない式の結果と、２ｎ－１を足した物が、ｎの式の結果である」のを証明すれば良いですから、以下のようになります。

n=4
○
○○○
○○○○●
○○○○●●● {2(n-3)-1}+{2(n-2)-1}+{2(n-1)-1}+(2n-1)=1+3+5+7=16
は、
m=3
○
○○○
○○○●● {2(m-2)-1}+{2(m-1)-1}+(2m-1)=1+3+5=9
に
○○○○●●● (2n-1)=7
を足した物です。

n=3
○
○○○
○○○●● {2(n-2)-1}+{2(n-1)-1}+(2n-1)=1+3+5=9
は
m=2
○
○○● {2(m-1)-1}+(2m-1)=1+3=4
に
○○○●● (2n-1)=5
を足した物です。

n=2
○
○○● {2(n-1)-1}+(2n-1)=1+3=4
は
m=1
○ (2m-1)=1
に
○○● (2n-1)=3
を足した物です。

n=1
○ (2n-1)=1
は
○ (2n-1)=1
だけです。始めと終りが同じ１です。

なお、上記の丸の、黒いのを凹んだ部分に移動すると
n=4
○
○○○
○○○○●
○○○○●●● {2(n-3)-1}+{2(n-2)-1}+{2(n-1)-1}+(2n-1)=1+3+5+7=16
↓
○●●●
○○○●
○○○○
○○○○ 4^2=16

n=3
○
○○○
○○○●● {2(m-2)-1}+{2(m-1)-1}+(2m-1)=1+3+5=9
↓
○●●
○○○
○○○ 3^2=9

n=2
○
○○● {2(n-1)-1}+(2n-1)=1+3=4
↓
○●
○○ 2^2=4

n=1
○ (2n-1)=1
↓
○ 1^2=1
となり「ｎの２乗」と等しいのは明白です。

お礼

ありがとうございました。
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回答No.1

yuu111

こんにちは

n=1のとき、左辺は一番左の「１」しかないですから。

お礼

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