高校数学

質問

あるN人の名前(同じ名前の者はいないものとする)がそれぞれに書かれたN個のボールが箱の中に入っている。

このN人が、１人１個ずつこの箱から無作為にボールを取り出すとき、自分の名前が書かれたボールを手にする人が少なくとも１人いる確率をP[N]とする。
N≧３におけるP[N]をP[2]，P[3]，・・・，P[N-1]によって表せ。

P[N]＝1－1/(P[2]×P[3]×P[4]・・・×P[N－1])
が答えなのではないかと思うのですが(数字を入れただけなので自信はないです)、どのように解けばよいのかわかりません。
この式を仮定として、数学的帰納法を用いてN≧３で常に成立すると証明したのでよいのでしょうか？
どなたか教えてください。お願いいたします。

回答No.1

f272

> P[N]＝1－1/(P[2]×P[3]×P[4]・・・×P[N－1])
> が答えなのではないかと思うのですが

これが間違いなのはすぐに分かる。P[*]は確率なのだからどれも0以上1以下です。それをかけ合わせたP[2]×P[3]×P[4]・・・×P[N－1]も0以上1以下です。そうすると1/(P[2]×P[3]×P[4]・・・×P[N－1])は1以上になって1－1/(P[2]×P[3]×P[4]・・・×P[N－1])は負の値になります。絶対おかしいでしょ。

それで，肝心の答えですが，どういう式を求めているのかよくわからない。
例えば
P[N]=P[N-1]-(-1)^N/N!
とかでもいいのかな。