数学の漸化式について質問です

質問

数直線上を原点から右に、硬貨を投げて進む。
表が出れば1進み、裏が出れば2進むものとする。
ちょうど点nに到達する確率をp{n}とする。ただし、nは自然数とする。
(1)2以上のnについて、p{n＋1}とp{n}、p{n-1}との関係式を求めよ。
(2)p{n}（n≧3)を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　（細野数学の確率　練習32）

(1)で p{n＋1}=1/2p{n}＋1/2p{n-1}がでました。この出し方は分かります。
この後隣接三項間の漸化式を出すのですが、今までしてきた問題だと、
例えば
a{n＋2}=a{n＋1}＋6a{n}　（n≧1)
　　a{n＋2}-3a{n＋1}= -2(a{n＋1}-3a{n}）（もう一つは省略します。）
　　数列（a{n＋1}-3a{n}）　は初項a{2}-3a{1}
　でnに1を代入して初項がでました。　

しかしこの問題の解答は
p{n＋1}+1/2p{n}=（p{n}+1/2p{n-1})
⇔p{n+1}+1/2p{n}=p{1}+1/2p{0}
とn=0を代入しています。本文にはnは自然数1以上、また(1)ではn≧2、(2)ではn≧3と意味がわからなくなってしまっています。
あとこの解答ではp{n+1}+1/2p{n}=～と出してますが、p{n}+1/2p{n-1}とした場合とはどこが違うのでしょうか。
わかりにくい文章で申し訳ありません。どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

exodus55 · ベストアンサー

>>しかしこの問題の解答は
p{n＋1}+1/2p{n}=（p{n}+1/2p{n-1})
⇔p{n+1}+1/2p{n}=p{1}+1/2p{0}
とn=0を代入しています。

これはn=1を代入してませんか？p{n}→p{1}、1/2p{n-1}→1/2p{0}となっているので。あと関係ないですが、⇔で二つの式は結合出来るのでしょうか。ちょっと意味がよく分かりません。

それで(1)でn≧2じゃないと…ってことですが、問題がただn≧2に指定しているだけで、別にn=1でも成り立ちますよ。n=2が初項とするわけにはいきませんね。n=1のときは
p{2}=1/2p{1}＋1/2p{0}
です。つまり２に居る確立ですね。１に居る確立は1/2、ここはちょっと微妙なんですが、０に居る確立は1と考えられます。最初は絶対０にいるので。よって
p(2)=1/4+1/2=3/4
です。これは実際に考えて、合っていますので。

(2)でn≧3となっているのも問題の都合であって、別にn=1,2でも成り立ちます。（(2)でn=2について問題を出しているわけですから。）

最後に
>>あとこの解答ではp{n+1}+1/2p{n}=～と出してますが、p{n}+1/2p{n-1}とした場合とはどこが違うのでしょうか。

解答のようでないと、右辺=（p{n}+1/2p{n-1})は
右辺=(p{n-1}+1/2p{n-2})
になってしまいます。（漸化式なので、1つずれますね。）
ここで上でも述べたように、n=1でも成り立つのに、n=1を代入したら-1にいる確立が出てきます。これは問題内容に反します。だから解答のようにしなくてはいけません。

分かりましたでしょうか？勉強頑張ってください！

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

kkkk2222

＃２です。間違えました。訂正します。

×　（２）　
　　さらに、＃は項数が、ｎ＋１になっています。
　　・・・
○
p{n＋1}+1/2p{n}=（p{n}+1/2p{n-1})
⇔p{n+1}+1/2p{n}=p{1}+1/2p{0} 　は、

　　　項数とは、無関係でした。
―ーーーーーーーー

？　　（３）
　　この危険性と、

ーーーーーーーーー
？　次の３行も変ですが訂正文が上手く書けないので・・・。

p(1)=(1/2),,,p(2)=(3/4),,,を（最初に）求める事を比較すると、
私なら、p(1)から始めて、
p{n+1}+(1/2)p{n}=p{２}+(1/2)p{１}　とします。

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.2

kkkk2222

回答するために必要なので、解を最初に出します。

　　特性解をα、βとして
A(n)={ {A(2)-βA(1)}{α^(n-1)}-{A(2)-αA(1)}{β^(n-1)} }/(α-β)
　　今回は、
a(1)=(1/2),a(2)=(3/4),α=1,β=(-1/2)を代入して整理すると、
a(n)=(2/3){ 1-( (-1/2)^(n+1) ) } 。
a(1)=(1/2),,,a(2)=(3/4),,,a(3)=(5/8),,,a(4)=(11/16),,,
　　a(0)=1,,,a(-1)=0,,,
　　これは、気に成るならば無視して下さい。
　　と思ったら、関係がありました。
-----------------------

＞＞　p{n+1}+(1/2)p{n}=（p{n}+(1/2)p{n-1})
⇔p{n+1}+(1/2)p{n}=p{1}+(1/2)p{0}・・・・＃

＞＞n=0を代入しています。

（１）
　　（nは自然数）であっても、
途中計算は、n=0を使用しても、
最後の式に（矛盾）が生じなければＯＫと思います。

　　事実、（明示的）には書いてなくても文脈から、
p{0}　は　原点の確率が１を意味するので、
感覚的には（矛盾）は生じないと思います。

　　但し、（解答）としては、上記の様に
p(n)=(2/3){ 1-( (-1/2)^(n+1) ) }　に０を代入して、
p{0}＝１　明示した方が、（無難）と思います。

　（無難）と書いたのは、（採点者）が、
p{0}＝１　をどう見るか、全く判らないからです。

（２）　
　　さらに、＃は項数が、ｎ＋１になっています。
項数が、ｎ＋１　であっても　ＮＵＭＢＥＲを調節すれば、
ＯＫですが、場合によっては（混乱）します。

（３）
　　この危険性と、
p(1)=(1/2),,,p(2)=(3/4),,,を（最初に）求める事を比較すると、
私なら、p(1)から始めて、
p{n+1}+(1/2)p{n}=p{２}+(1/2)p{１}　とします。

＜a(n)とp(n)同一と見て下さい。（）と{　}も同一です。＞

（４）

細野という方は、評判が高いので、
この危険性をもクリアせよ、と言っているのかもしれません。

＞＞(1)ではn≧2、
　　p(1)は、＜別扱い＞と読めます。
＞＞(2)ではn≧3
　　確かに、奇妙ですが、
p(1),p(2),p(3)・・・
どこから始めても,p(n)=(2/3){ 1-( (-1/2)^(n+1) ) }は、成立するので、
（たいした意味は）持っていないと感じます。

＞＞p{n+1}+(1/2)p{n}=（p{n}+(1/2)p{n-1})と出してますが、
　　　p{n}+(1/2)p{n-1}=（p{n-1}+(1/2)p{n-2})した場合。

上式は、n≧2、
下式は、n≧3、と取れます。
条件により、どちらでもよいです。
p(０)の扱い方でも回答は異なるので表現しようがありませんので、
（上式が好ましい。）としか・・・。