数学の質問教えていただけませんか

質問

数学の質問です。ちんぷんかんぷんなので教えていただけませんか？

そもそも、なぜ反例をあげる必要があるのですか？
また、なぜ 「m≦4かつn ≦ 4⇒ 𝑚^2+𝑛^2 ≦ 16 」が偽であることを示す反例をあげればよいのですか？ 𝑚^2+𝑛^2 ≦ 16 ⇒ m≦4かつn ≦ 4が偽であることを示す反例ではなく。
正直、基礎から知識が足りていないと思うのですが・・・
なるべく丁寧な説明お願い致します。

回答No.1

ddtddtddt · ベストアンサー

一般に、

　　A ⇒ Ｂ

において、AはＢが成り立つための十分条件。ＢはＡが成り立つための必要条件といいます。ここまでは良いですか？。

＞そもそも、なぜ反例をあげる必要があるのですか？
　反例をあげなくても題意を示せるとは思いますが(^^;)、一般に「何かが成り立つ事」を確定させるためには、全ての場合を尽くす形で、論理的に証明しなければなりませんが、「何かが成り立たない事」を確定させるには、証明しなくてもできます。

　たんに成り立たないケースを一個示しただけで、事は済みます。それが反例です。何かが成り立つなら、成り立たないケースは「一個もないよね？」、・・・というわけです。

　ここではそういう訓練をしましょう、というのが、問題の趣旨だと思います。

　題意では、「𝑚^2+𝑛^2 ≦ 16」は「m≦4かつn ≦ 4 」の十分条件という事実は、「成り立つ」としてます。つまり、

　　𝑚^2+𝑛^2 ≦ 16　⇒　m≦4かつn ≦ 4 ．

は正しいと。もちろんこれだって本当は確認する必要はあるわけですが、そこは「気にしない！」と、問題は宣言してるわけです。

　　「この命題の下線部を示す例として・・・」の部分で！。

数学の問題文って本当にわかりにくいですよね。だから下線部の「必要条件ではない」だけに注目すれば良いんです。

　さっきも言ったように、「𝑚^2+𝑛^2 ≦ 16」が「m≦4かつn ≦ 4」の必要条件であるとは、

　　m≦4かつn ≦ 4　⇒　𝑚^2+𝑛^2 ≦ 16 ．

が成り立つという事です。これが成り立たない事を示すには、なんか適当な数字を代入して、「そうならない事」を示せばいいんですよ。

　ただ模範解答は、「成り立たない事を証明してる」のとほぼ同じですね。それはそれで意味のある事なんですけれど。

　まぁ～、あんまり悩まないで下さい。数学は本来、素直な学問です(^^)。

お礼

なるほど！
模範解答も数式ばかりで内容がまったく入っていませんでしたが、回答いただけたお陰で納得しました！
たとえば、m に4を代入したらn がどんな数時でも16超えるよ、だから必要条件ではないよ、という訳ですね？
一個だけ示せばよいが回答で個数を聞いてきているから模範解答では丁寧に全てのm、nの場合を調べているよ、そういうことですか！