積分問題 質問

質問

積分問題　質問

∫（x/(1+x^2)）dx
置換積分で、1+x^2=tとおいて解くと、
-（（1/2）（1/（1+x^2））+Cとなって解けます。

興味本位で、tanθと置換して解いてみたのですが、
θをxの関数に戻せません。θをxの関数にどのように戻せば良いでしょうか？

自分で解いてみた内容を添付画像に示します。

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問
>x=tanθと置換して解いていった場合に
>1/8（sin2θ-2θ）…(■)をxの関数に
>どのように変換するのか知りたいです。

x=tanθから　θ=atctan(x)=tan^-1(x)
sin2θ=2sinθcosθ=2(sinθ/cosθ)cos^2θ=2tanθ/(1+tan^2θ)=2x/(1+x^2)
これらの関係を(■)の式に代入すればxの式に変換できます。

お礼

いつもご回答ありがとうございます。

理解できました。やはり同じ回答になりますね。
お騒がせしてすいませんでした。

回答No.2

info22_

A#1の補足の
>∫（1/(1+x^2)^2）dx

の積分は過去の質問
http://okwave.jp/qa/q5825631.html
の回答番号#2に解答が載っています。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5825631.html

補足

いつもご回答ありがとうございます。

微分を使って解く方法は前回教えて頂いて理解しました。
今回は、x=tanθと置換して解いていった場合に1/8（sin2θ-2θ）をxの関数にどのように
変換するのか知りたいです。すいません^^;

興味本位なのですが・・・

回答No.1

Tacosan

被積分関数は x/(1+x^2) なのか x/(1+x^2)^2 なのか, どちらなのでしょうか?
また, あなたの解答中, 1/(1+t)^2 の積分がなぜか 1/(1+t^2)^2 の積分に変化しています.
この辺をクリアにしてもらえないでしょうか.

補足

すいません^^;ミスです。
∫（x/（1+x^2）^2）dxの間違いです。

∫（x/（1+x^2））dx・・・誤
∫（x/（1+x^2）^2）dx・・・正

そして、∫（x/（1+x^2）^2）dxだと置換するだけで問題なく解けますね^^;
>また, あなたの解答中, 1/(1+t)^2 の積分がなぜか 1/(1+t^2)^2 の積分に変化しています.
ミスしてました。1/(1+t)^2が正しいです。なのでわざわざt=tanθとする必要はありませんね。

質問内容を変えて、∫（1/（1+x^2）^2）dxについての質問とさせて頂きます。
x=tanθとして置換するとθの関数として積分できますが、最後xの関数にどのように変えれば良いでしょうか？