行列に関する質問

質問

行列　(A　-B) が回転拡大を表す行列である根拠はなんでしょうか？
　　　(B　 A)

この行列の形で例えば折り返しだったりする可能性はなぜ除外できるの
でしょうか？

回答No.5

alice_44

「折り返し」の行列を具体的に
求めてしまえば話が早い。

y = x tan(θ/2) を軸とする折り返しと
r 倍拡大の合成は、
A = r cosθ,
B = r sinθ と置くと、
行列
A B
B -A
で表される。

これと、質問の行列を比べれば、
A = B = 0 のときしか一致しない
ことが解る。

回答No.4

Tacosan

「折り返し」っていうと「線対称移動」のように聞こえるんだけど, それでいい?
もしそうなら, (A, B は実数と仮定するけど) この行列が「折り返し」を表す可能性はありません. 行列式を考えれば自明です.

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞この行列の形で例えば折り返しだったりする可能性はなぜ除外できるのでしょうか？
この疑問に回答できていなかったので、先の続きということで。

(1) たとえば、
[[-1, 1], [-1, -1]]＝ -√2* [[cos45°,-sin45°], [sin45°,cos45°]]

となり、先頭に（式全体に）-1が掛っています。
これは原点対称の移動を表しています。(x ', y ')＝ (-x, -y)ということです。
しかし、これは 180°の回転移動と同じことになります。

(2) 次に、x軸に対称な移動は θ→ -θとすることで与えることができます。
このときは、sinθだけ符号が変わりますね。

つまり、可能性が除外されているというよりは、「含まれている」と考えた方がよいことになります。

回答No.2

-q7P2izb__

(x,y)をベクトルとします。
ｔをラジアンとすると、
(x,y)*(cost,sint)=(xcost,ysint)
(x,y)*(-sint,cost)=(-xsint,ycost)
それぞれ移動するベクトルは、原点Ｏに対する、
角度ｔの回転後のベクトルに対応していると思います。
したがって、((cost,sint)(-sint,cost))は回転行列を表しています。
また、costをAcost,sintをBsint、（A,Bを定数）としてしまえば、
拡大回転行列に対応していると思います。
折り返しの場合は、t=πのときではないでしょうか？

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

回転・拡大（縮小）であることを示す方法は、三角関数の合成に似た方法を使います。

・各項から√(A^2+ B^2)をくくり出します。
表記を簡単にするために、一部 √(A^2+ B^2)＝ Sと表すことにすれば
√(A^2+ B^2)・[[A/S, -B/S], [B/S, A/S]]

と表すことができます。（注：行列の成分を[[], []]の形で表しています。）

・前の項は単位行列に乗じている係数となり、S＞ 1ならば拡大、
S＜ 1ならば縮小を表すことになります。S＝ 1は恒等変換ですね。

・後の項は A/S＝ cosθ、B/S＝ sinθと表せば回転行列を表すことになります。
-1≦ A/S≦ 1、-1≦ B/S≦ 1であることは明らかですね。