行列式(回転行列)の質問です

質問

行列式(回転行列)の質問です

もともとの問題は(1,0)にこの回転行列で何回か回転させたとき、x軸上にこないことを証明するというものだったのですが、

|2 -1|
|1 2|　　をｎ乗したいのですが一般式などは作れるでしょうか？

そもそも回転行列のｎ乗の一般式ってあるのでしょうか？

できたら他のやり方の回答もお待ちしています。

回答No.3

OKXavier · ベストアンサー

>|2 -1|
>|1 2|　　をｎ乗したいのですが一般式などは作れるでしょうか？

つくれます。
例えば、
行列A=|2　-1|
　　　　　|1 　2|
の場合は、　
の固有値が　2+i、2-i
ですから、

A^n=
( ((2+i)^n+(2-i)^n)/2,　　-(　(2+i)^n-(2-i)^n)/(2i) )
( ((2+i)^n-(2-i)^n)/(2i),　(　(2+i)^n+(2-i)^n)/2 )　）

行列の固有値の応用です。行列の勉強を深めて下さい。

補足

はい。そのとおりでした。
質問後普通に特性方程式とかでぐちゃぐちゃ計算したらできるはずでは？とおもい
ごり押しで計算したら同じ結果に・・・・ありがとうございました！

回答No.2

alice_44

「x軸上にこないこと」の証明は、難しいね。
sinθ = 1/√5 のとき、θ/π が無理数である
ことを示せばよいのかな。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

回転行列は、(拡大・縮小の比率)×(ある角度を回転させる行列)という構成になります。
具体的な式で書くと、次のような感じです。

(a -b)(b a)
＝ √(a^2+ b^2)* (a/√ -b/√)(b/√ a/√)
＝ √(a^2+ b^2)* (cosθ -sinθ)(sinθ cosθ)

角度θは以下の条件を満たすものとして、与えられます。
cosθ＝ a/√(a^2+ b^2), sinθ＝ b/√(a^2+ b^2)

・n乗
比率は単純に n乗されます。
回転行列は、角度θを n回繰り返すのですから・・・、わかりますよね？

・x軸上にないこと
これは角度だけを考えればよいことになります。
n回回転させた角度が x軸に一致しないことを示せばいいわけで・・・

ここまでで一度考えてみてください。＾＾