行列についての質問です。

質問

行列A=(a 1 // b a)を実行列とする。このときaは1に近い数字とし、bは零に近い数字とする。このとき初期ベクトルX₀(≠0)に対して、Xn=AXn－１(n=1,2,3…)で定まる点列X₀,X₁,X₂…の挙動について考察せよ、という問題です。
どなたかわかる方、回答をお願いします。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
少々計算が面倒ではありますが、以下のような方針でどうでしょうか？

1) まず、行列：Aについて、A^nがどうなるかを考えます。
これは「aは 1に近い、bは零に近い」ということを無視して考えます。
A^2、A^3あたりを計算すると、A^nの成分を推測することができます。

ヒントとして、A^nの形を書いておくと以下のようになります。
A^n＝ ( Pn, Qn ； b*Qn, Pn )、P1＝ a、Q1＝ 1

2) 数列 { Pn }、{ Qn }の連立漸化式を解いて、それぞれの一般項を求めます。
これもヒントですが、そこには (a±√b)^nの形が現れます。

3) (a±√b)^nについて、近似を考えます。
一度、a＝ 1+α（α≒0）とでもおいて考えると、以下のようになります。
(a±√b)^n≒ 1+ n(1- a+ √b)

4) 近似を用いて、Xn→＝ (xn, yn)を求めます。

ちなみに、a＝ 1、b＝ 0（近似なし）とした場合の Xn→は
　xn＝x0+ n*y0
　yn＝ y0

です。

これに対して、「近似した」答えには (ズレの項)が付きます。
　xn＝ x0+ n*y0+ (ズレの項)
　yn＝ y0+ (ズレの項)