∀ ∃ の使い方

質問

「すべてのｘについて　(ｘ+1)＜０」xは実数　というのを
全称記号を用いてあらわすと
「∀x∈Ｒ (ｘ+1)＜0」となるかと思います(∈Ｒは書かなくてもいい???

では、「p,qはともに奇数」　p,qは整数

を表したいときはどうすればいいでしょうか?
「∀p∧∀q∈Z 奇数」、「∀p,q∈Z　奇数」、「∀(p,q)∈Ｚ　奇数」
などなど考えてみましたがどう書き表すのが正しいのでしょうか?

また奇数と普通の文字で記していいのでしょうか?

a,bのうちすくなくとも一方は正の数　や
a,b,cはともに2の倍数である
などを書きたい場合はどのように書けばいいのでしょうか?

回答お願いします。

回答No.1

tsukita · ベストアンサー

こんばんわ。専門家ではないので、厳密ではないでしょうが・・・

>「∀x∈Ｒ (ｘ+1)＜0」となるかと思います(∈Ｒは書かなくてもいい???

xの定義域を明確にする（＝読み手に誤解を与えない）ためにも、
∈Ｒはあったほうがいいでしょう。
また、「∀x∈Ｒ， (ｘ+1)＜0」と、間に"，"を入れると良いです。

>では、「p,qはともに奇数」　p,qは整数
>を表したいときはどうすればいいでしょうか?
>「∀p∧∀q∈Z 奇数」、「∀p,q∈Z　奇数」、「∀(p,q)∈Ｚ　奇数」
>などなど考えてみましたがどう書き表すのが正しいのでしょうか?

(1)「∀p∧∀q∈Z 奇数」
これには問題があります。
“∧”は演算子でしょうから、これでは、読み手はおそらく、
『pとqの２つのある要素に対して、（p∧qとして表される何かしらの定義（写像）があって、その定義によれば、）p∧qの値は整数値になる』
と解釈されるでしょう。

(2)「∀p,q∈Z　奇数」
これはなかなか良いと思います（数学的に問題ありません）。
ただし、誤解を与えないために、「∀p,∀q∈Z，奇数」とするのが良いと思います。さらに、
2Z+1={2n+1 | n∈Z}
で奇数全体を表すことも、数学の世界では（ある程度）市民権を得ているので、
「∀p,∀q∈2Z+1」
も良いかもしれません。

(3)「∀(p,q)∈Ｚ　奇数」
これは問題があります。なぜなら、(p,q)は一般にベクトルを表しますが、そのベクトルが整数の要素だと主張することになります。これはＮＧです。

・・・と色々書きましたが、結局は、読み手に意味を伝えることが目的なので、あえて記号を使おうとしないで、
『p,qはともに任意の奇数とする。このとき～』
とかくのがいいでしょう。数学の論文でも、おそらく∀を使わないで表現するものが多いはずです。

>また奇数と普通の文字で記していいのでしょうか?

日本人が数学を論じるので、日本語で問題ありません。

>a,bのうちすくなくとも一方は正の数　や
>a,b,cはともに2の倍数である
>などを書きたい場合はどのように書けばいいのでしょうか?

素直に、記号を使わずに上述の通り
『a,bのうちすくなくとも一方は正の数』
『a,b,cはともに2の倍数』
と書けばよいでしょう。
（『a,b,cはともに2の倍数』は、
『∀a,b,c∈2Ｚ』と記述してもよいでしょうが・・・

結局は、読み手が誤解しないように伝わればいいのであって、あえて記号を使おうとしないことです。

大学生でしょうか？∀　∃の記号については、講義のなかで先生が使っているのを真似たり、数学の本や論文の中で使用されているものに多く触れて、つかんでいくのがいいと思います。

お礼

一つ一つ丁寧に説明いただきありがとうございます。
とても分かりやすかったです。
仰せのとおり、多く触れて自分のものにしていきたいと思います。

回答No.3

alice_44

論理式の一部だけを取り出しているようなので、
何を質問しているのか解りにくいのですが…

「∀p,q∈奇数,～」と書けば、
「p,q がともに奇数であるとき
～ が成立する」 ことを表します。

「p,q はともに奇数である」ことだけを表すなら、
「p∈奇数 ∧ q∈奇数」 で十分であり、
「∀」記号は要りません。

お礼

浅はかな知識だったものですみません。
「∀」は使わなくても十分なのですね、物珍しさに使ってみたいと思ってしまいました。
回答ありがとうございます。

回答No.2

rinkun

> ∀x∈Ｒ (ｘ+1)＜0
とりあえず
　∀x∈Ｒ［ (ｘ+1)＜0］
のようにxの適用範囲が分かるようにした方が良いかな。
厳密に書くなら
　∀x［x∈Ｒ ⇒ (ｘ+1)＜0］
かと。

> 「∀p∧∀q∈Z 奇数」、「∀p,q∈Z　奇数」、「∀(p,q)∈Ｚ　奇数」
両端のはダメ、真ん中は略記法としては許容範囲かと。
でも奇数には整数であることが含まれるので
　「∀p,q：奇数」
のような書き方で良いのでは?

# 何にせよ論理式としてみると真ではありませんが

お礼

回答ありがとうございます。
アドバイス等々ためになりました。