わからない問題があります

質問

kは0または正の整数とする。方程式x^2ーy^2=kの解(x,y)=(a,b)で、a,bがともに奇数であるものを奇数解とよぶ。
(1)方程式x^2ーy^2=kが奇数解をもてば、kは８の倍数であることを示せ。
(2)方程式x~2ーy^2=kが奇数解をもつための必要十分条件を求めよ。

解ける方お願いします。

回答No.2

gomagoma427 · ベストアンサー

初めに、

x^2ーy^2＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）

と因数分解できます。ｋが0以上であるので、ｘ＝ｙ　か、ｘ＞ｙ　ということになります。

（ｘ、ｙ）が奇数解であるとします。
そうすると、ふたつの整数n,m(n>m)を使って

x = 2n+1
y = 2m+1

と書き表せます。

したがって、

k = (x+y)(x-y) = 4(n+m+1)(n-m)

となります。ここで、n+m と n-m の偶奇は一致します。
例えば　3+2=5 と　3-2 = 1 はどちらも奇数です。
6+4=10 と 6-4=2 はどちらも偶数です。

したがって、n+m+1 と n-m ではどちらか片方が奇数であり、もう片方が偶数です。
しがたってどちらかは2の倍数ので、結果として

k = (x+y)(x-y) = 4(n+m+1)(n-m)

は８の倍数になります。

必要十分条件に関しましては、今のと逆に、

k = 4(n+m+1)(n-m)

とふたつの整数ｎ＞ｍを用いて因数分解できれば奇数解を持ちますので、これがひとつの必要十分条件にはなると思いますが、他にもっとおもしろいというかすっきりしている条件があるのかもしれません。

回答No.5

Tacosan

ついでにいうと, (1) も因数分解しない方がむしろ速いかもしれん.

奇数の 2乗を 8 で割ると必ず 1 余るし.

回答No.4

gomagoma427

そうですね、No3さんの言うとおり、もっとすっきりした結果がありました。

逆にkが８の倍数の時、

k=8t, tは整数と表せます。

ここで
n=t
m=t-1

とおくと、
2n+1 = 2t+1
2m+1 = 2(t-1)+1 = 2t-1

は共に奇数で、
ｘ＝２ｎ＋１
ｙ＝２ｍ＋１
として方程式の左辺に代入すると

（２ｔ＋１）＾２－（２ｔ－１）＾２＝８ｔ＝ｋ

となり、方程式が奇数解をもつことになります。

つまりｋが８の倍数であることは方程式x^2ーy^2=kが奇数解をもつことの必要十分条件となります。

回答No.3

Tacosan

もちろん「もっとすっきりしている条件」があります＞#2. 結果だけ聞くと「ふざけるな」というかもしれませんが.

回答No.1

Tacosan

どこがわからない?