凸多面体の性質について

質問

大学の数学の問題でわからない所があるので、教えてください。

R^nの多面体を{x∈R^n|Ax=b,x≧0}で定義します。
ここにA∈R^(m*n),b∈R^mで、Rは実数全体の集合、ベクトルの不等号は各成分ごとの不等式です。
また、多面体Pの端点をx∈P
s.t. x=λy+(1-λ)z(λ∈[0,1])となるようなy,z∈Pが存在しない
というように定めます。

今、P,QをR^nの多面体として
P+Q={x+y∈R^n|x∈P,y∈Q}
とする

(1)P+Qは多面体であることを示せ。
(2)P+Qの端点はちょうどPとQの端点の和であることを示せ。

とりあえずP={x|Ax=b},Q={y|By=c}とおいてみたのですが、
C(x+y)=d
となるような行列Cが見つかりません。
どなたかご教授ください。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

（２）は簡単そうなので、（１）についてだけアイデアを書きます。厳密な証明はお任せします。

次の[1]は既知とします。

[1]　　 R^nの部分集合VがR^nの部分ベクトル空間である必要十分条件は、ある行列Fが存在してV={v|Fv=0} と書けること（十分条件であることは明らか。必要条件であることについては、Fの各列にVの直交補空間の基底を持ってくればよい）。

さて、P又はQが空集合のときは明らかなので、どちらも空集合でないとして、

x0∈P、y0∈Q

とすれば、Pの任意の元xとQの任意の元yに対して、

[2]　　A(x-x0)=0、B(y-y0)=0

となります。そこで、P'={x'|Ax'=0}、Q'={y'|By'=0}と置けば、

P = {x'+x0|x'∈P'、x'≧-x0}
Q = {y'+y0|y'∈Q'、y'≧-y0}

なので、

[3] 　　 P+Q = {x'+y'+x0+y0|x'+y'∈P'+Q'、x'≧-x0、y'≧-y0}
　　　　　　 = {x'+y'+x0+y0|x'+y'∈P'+Q'、x'+y'≧-x0-y0}

となります。また、P'とQ'はベクトル空間なので、P'+Q'もベクトル空間になります。よって、[1]により、ある行列Cが存在して、

[4]　　P'+Q'={z'|Cz'=0}

となります。[3]と[4]を組み合わせて、

P+Q = { z'+x0+y0|Cz'=0、z'≧-x0-y0}
= {z|Cz=C(x0+y0)、z≧0}

が得られます。

お礼

なるほど
この定理は知りませんでした。。。

回答ありがとうございました。