数学A 命題の証明

質問

x,y,zは０でない実数とする。A＝ｘ＋ｙ＋ｚ　B＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ　C＝ｘｙｚとする。

（P）　A=０ならば、B＜０である。
（Q）　A,B,Cがすべて正ならば、ｘ、ｙ、ｚはすべて正である。
（R）　ｘ、ｙ、ｚのうち1つだけが正ならば、A<０　または　B≦０である。

（１）（P）を証明せよ。
（２）（Q）の成立を仮定して、（R）を証明せよ。
（３）（Q）を証明せよ。

（１）はわかったので、2番以降の解説をお願いします。
ちなみに2番は対偶で考えるように言われました。
3番は　xyzのうち（１つだけが正、２つが負）ではないことを示せばよいそうです

ご回答お願いします。

回答No.1

orangejuice747

（1）も一応やりましょう。
A=x+y+z=0よりx=-(y+z)と変形してBに代入しyの2次式として平方完成すると
B=yz-(y+z)^2=-[(y+z/2)^2+3z^2/4]<0　（つまりBは、-(2乗+2乗)で負の数である。）
（2）これは、出題に間違いがあり「A≦0」だと思います。

(Q)を仮定すればx,y,zの標本空間が(Q)も(R)も同じであるので、(Q)の対偶となる(R)も真である。

と、なります。証明するに及ばずですね。（実は、(Q)の命題は同値です。逆ももちろん真なので（笑））

（3）結局C>0よりx,y,zはすべて正か1つだけが正かの場合になります。すべて正ならAもBも正であるのは容易に分かります。
（1つだけ正の場合）x>0,y<0,z<0とすると、y+z<0、yz>0であり、A>0よりx>-(y+z)ー＊ある。＊の両辺に負であるy+zを掛けyzを足すと、（1）と同様で、
B=yz+x(y+z)<-(y+z)^2+yz=-[(y+z/2)^2+3z^2/4]<0　となりA,B,Cすべて正に反する、よってx,y,zは、1つだけが正ではなくすべてが正。

見通しを着けさせるはずの出題意図がかえって分かりにくくさせてますね、すぐに(Q)を示せで簡単に証明できるのですが。