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論理と集合 必要条件・十分条件
(1) 実数x,y,zに対し、x+2y+z^2=0はx=y=z=0であるための 必要条件であるが十分条件でない (2) 整数nについて、√nが無理数であることは、nが奇数であるための 必要条件でも十分条件でもない (3) a、bは実数とする。b＜0であることは、２次方程式x^2+ax+b=0が実数解をもつための 十分条件であるが必要条件でない 全て求め方が全くわかりません…。 どのように考え計算すれば良いでしょうか。
- 数学・算数
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判別式D=b^2-4acに当てはめれば良いのですよね？ >> b＜0であれば a^2≧0＞4bとなるので、↑ここがわかりません ＞この問題の判別式はD=a^2-4bです。 b＜0であれば4b＜0です。一方a^2は常にa^2≧0です。 従って、常にa^2＞4bすなわちa^2-4b＞0が成り立ち x^2+ax+b=0は実数解をもつので、 (b＜0)→(x^2+ax+b=0が実数解をもつ)となり、 "矢の根元"のb＜0は十分条件になります。 >> しかし、b＜0←x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は常には成り立たない。 なぜならa^2-4b≧0はa^2≧4b＞0すなわちb＞0でも成り立つからである。 ↑ここがわかりません。 ＞x^2+ax+b=0が実数解をもつならD=a^2-4b≧0 です。この式はb＞0であってもa^2≧4bを満たす aであれば成り立ちます。 従ってx^2+ax+b=0が実数解をもってもb＜0とは 限らず、 常に(x^2+ax+b=0が実数解をもつ)→(b＜0) が成り立つわけではないので、"矢の先"の(b＜0) は必要条件にはなりません。
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- yyssaa
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No.2です。 No.3さんが丁寧かつ十分な説明をして下さったので 付け加えることはありませんが、→の向きでの覚え方は、 「矢が当たると必殺だから必要条件」と教わった記憶が あります。例えばA→Bであれば、矢が当たるBが必要 条件であり、矢の根元側のAが十分条件といった具合 でした。参考になれば幸いです。
お礼
再度わかりやすい説明をありがとうございます。 この覚え方なら頭に入りますね！
- itshowsun
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すでに回答者２さんがすばらしい回答をしています。 しかし、Ａ→Ｂの方向で十分条件と必要条件を暗記すると、 すぐにどちらか分からなくなってしまいます。 これは「右」と「左」はどっちがどっちだという問題と同じで、 これを覚えるためには、やはり 「箸を持つ手が右手で、茶碗を持つ手が左手」 という暗記のテクニックが必要です（ぎっちょの場合はもちろん反対）。 そこで論理学の立場だけでなく、数学で考えます。すなわち、集合です。 今、集合ＡとＢがあり、 Ａ ⊃ B すなわち、集合ＡはＢを含みます（図参照）。 このとき、論理学では、 Ａ → B が成立しています。なぜならＡであればＢは必ずＡの中にあるからです。 よって、 Ｂであるための十分（過ぎる）条件はＡである。 Ａであるための必要（であるが十分ではない）条件はＢである。 ということになります。 例題を解くためには、左辺と右辺の解の集合を考え、 大きい集合をＡ、小さい集合をＢと考えれば、間違いなく解けるはずです。
お礼
とてもわかりやすい説明をありがとうございました。 覚え方がわかりました。
- yyssaa
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基本はA→B(AならB)が常に成り立つならAはBの十分条件で、Bは Aの必要条件です(→の向きで覚える)。 A→B(AならB)かつA←B(BならA)が常に成り立つなら、AはBの、 BはAのそれぞれ必要十分条件です。 (1) 実数x,y,zに対し、x+2y+z^2=0はx=y=z=0であるための 必要条件であるが十分条件でない ＞ x=y=z=0→x+2y+z^2=0は常に成り立つが、x+2y+z^2=0→x=y=z=0は 必ずしも成り立たない。何故なら、例えばx=-2,y=1,z=0でも x+2y+z^2=0になる。 よって、x+2y+z^2=0はx=y=z=0であるための必要条件であるが十分 条件でない。 (2) 整数nについて、√nが無理数であることは、nが奇数であるための 必要条件でも十分条件でもない ＞ 整数nについて√nが無理数である→nが奇数、は必ずしも成り立た ない。何故なら、例えば√2は無理数であるがn=2は奇数ではなく 偶数である。 又、整数nが奇数である→√nが無理数である、も必ずしも成り立た ない。何故なら、例えばn=9(奇数)のとき√9=3は有理数である。 よって、→も←も常には成り立たないので、必要条件でも十分条件 でもない。 (3) a、bは実数とする。b＜0であることは、２次方程式x^2+ax+b=0が実数解をもつための 十分条件であるが必要条件でない ＞ x^2+ax+b=0が実数解をもつのは、根の判別式が正又は０、 すなわちa^2-4b≧0が成り立つときであり、b＜0であれば a^2≧0＞4bとなるので、b＜0→x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は 常に成り立つ。 しかし、b＜0←x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は常には成り立た ない。なぜならa^2-4b≧0はa^2≧4b＞0すなわちb＞0でも成り 立つからである。 よって、b＜0はx^2+ax+b=0が実数解をもつための十分条件で あるが、必要条件ではない。
お礼
とてもわかりやすい解説をありがとうございました。 (1)、(2)は納得できました。 (3)は何度も挑戦しましたが、やはりまだわかりません。 >> x^2+ax+b=0が実数解をもつのは、根の判別式が正又は０、すなわちa^2-4b≧0が成り立つときであり、 まではわかりました。 判別式D=b^2-4acに当てはめれば良いのですよね？ >> b＜0であれば a^2≧0＞4bとなるので、↑ここがわかりません b＜0→x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は 常に成り立つ。 >> しかし、b＜0←x^2+ax+b=0が実数解をもつ、は常には成り立たない。 なぜならa^2-4b≧0はa^2≧4b＞0すなわちb＞0でも成り立つからである。 ↑ここがわかりません。 再度質問申し訳ありません。
(1) 必要性は明らか。 十分性についてはたとえばx=-2、y=1、z=0 (2) 必要性についてはたとえばn=9 十分性についてはたとえばn=2 (3) 必要性についてはたとえばa=-2,b=1 十分性は明らか。
お礼
ありがとうございました。 やはりわかりませんでした…
お礼
ようやくわかりました。 大変わかりやすい解説を本当にありがとうございました！