３の倍数であることの証明

質問

(1)正の整数ｘを３で割ると１余り、正の整数ｙを３で割ると2余るとき、ｘ+ｙは３の倍数であることを示せ。
（2）正の整数ｘが３の倍数ではないとき、ｘ＾２を３で割ると１余ることを示せ。
（3）３つの正の整数ｘ、ｙ、ｚの間にｘ＾２+ｙ＾２＝ｚ＾２の関係が成り立つときｘ、ｙの少なくとも一方は３の倍数であることを示せ。

答えが略でよく分かりません。
教えてください。

回答No.3

DJ-Potato · ベストアンサー

a, bは自然数とする。

(1)
xは３で割ると１余るので、x = 3a + 1
yは３で割ると２余るので、y = 3b + 2
x + y = 3a + 1 + 3b + 2 = 3(a + b + 1)
a + b + 1は自然数なので、x + yは３の倍数である。

(2)
x = 3a + 1の時
x^2 = (3a + 1)^2 = 9a^2 + 6a + 1 = 3(3a^2 + 2a) + 1
よって、x^2は３で割ると１余る。
x = 3a + 2の時
x^2 = (3a + 2)^2 = 9a^2 + 12a + 4 = 3(3a^2 + 6a + 1) + 1
よって、x^2は３で割ると１余る。
∴xが３の倍数でないとき、x^2は３で割ると１余る。

(3)
xもyも３の倍数でないと仮定すると、(2)より
x^2 = 3a + 1
y^2 = 3b + 1
すなわち　z^2 = 3(a + b) + 2
とおくことができる。
zが３の倍数の時、z^2も３の倍数となり、矛盾
zが３の倍数でない時、z^2は３で割ると１余るので、矛盾
よって仮定は誤り。
ゆえに、３つの正の整数ｘ、ｙ、ｚの間にｘ＾２+ｙ＾２＝ｚ＾２の関係が成り立つときｘ、ｙの少なくとも一方は３の倍数である。

こんな感じですが、どうでしょう？

回答No.7

eclipse2maven

こういうのは、剰余類でかんがえましょう。

そうすると　0,1,2 だけしかない。

たとえば　（２）は　0以外の元はすべて2乗は　１　ですよね　たとえば　２＊２＝４＝１

そうすると　（３）は

１＋０＝１　０＋１＝１　か　０＋０＝０　のどれか

回答No.6

chie65536（@chie65535）

(1)x=3n+1、y=3m-1とすると、x+y=3n+1+3m-1=3n+3m。3n+3m=3(n+m)なのでx+yは３の倍数。

(2)ｘ=3ｎ±1にして2乗すると、9n^2±6n+1で、9n^2±6nは３の倍数であるから、３で割った余りは1。

(3)ｘとｙがどちらも3の倍数でないなら、(2)より「必ず余り１」なので、x^2+y^2を３で割った余りは2になる。これはx^2+y^2=z^2に矛盾する。何故なら、z^2を３で割った余りは(2)より「必ず余り１」であるはずだから。したがって、ｘ、ｙの少なくとも一方は３の倍数である。

(3)の答えは(1)と(2)が理解出来ていれば回答可能。

回答No.5

FEX2053

おまたせ。

(3) X^2,Y^2の両方が3の倍数でないとき、Z^2にならなければ
オッケーと考えるのが正解かな。条件が4つ出来るのでスマート
じゃないから、イマイチ気にいらないけど。

(3a+1)^2+(3b+1)^2 = 3(3a^2+3b^2+2a+2b)+2
(3a+1)^2+(3b+2)^2 = 3(3a^2+3b^2+2a+4b+1)+2
(3a+1)^2+(3b+2)^2 = 3(3a^2+3b^2+4a+2b+1)+2
(3a+1)^2+(3b+2)^2 = 3(3a^2+3b^2+4a+4b+2)+2

どれも3で割ると2余るわね。

で、この値が Z=3c^2 , Z=(3c+1)^2 , Z=(3c+2)^2 のどれでも
無いことを示せばいいんだけど、

3c^2 = 3(c^2)
(3c+1)^2 = 3(3c^2+2c)+1
(3c+2)^2 = 3(3c^2+4c+1)+1

どれも3で割って2は余らないわね。ということで、不可。念のため

3a^2+(3b+1)^2 =3(3a^2+3b^2+2b)+1

だから1余るのでオッケー、まあ、数学的には全部調べた方がいい
かもだけど、題意から「両方3の倍数でない＝少なくとも１方は
３の倍数である」と言えるので。これでオッケーではないかと。

ただねえ・・・もっとスマートなとき方がありそうな気はするけど。

回答No.4

rnakamra

(1)
3で割ると1余る整数xは別の整数mを使い
x=3m+1
と表せます。
同様に3で割ると2余る整数yは別の整数nを使い
y=3n+2
と表せます。

x+yをm,nを使い表してみましょう。

(2)
3の倍数でない整数は3で割ると1または2余ります。
(1)同様それを3m+1,3n+2とおき、それぞれを2乗した式を展開してください。
3でまとめるとあまりが分かるのではないでしょうか。

(3)
両辺を3で割った余りを考えてみましょう。
x,yともに3で割り切れない場合、x^2,y^2を3で割ると"1"余ります。
ということはx^2+y^2を3で割ると"2"余るということで4す。
右辺を3で割った余りは何になるでしょうか。

回答No.2

ONEONE

(1)xを整数nで、yを整数mで表してから足す

(2)nを整数としてx = 3n +1または3n - 1と表せるので二乗してみる。

(3)http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pythagoras/pythagoras2.htm

回答No.1

FEX2053

視察で、フツーに考えて「アタリマエ」だと判りませんか？

(1)X=3a+1 Y=3b+2 (a,bは整数）と表現できますから

X+Y = (3a+1)+(3b+2) = 3(a+b)+3 =3(a+b+1)

ほれ、3で割れる。

(2)同様に条件は　X=3a+1 または X=3a+2 のどちらか

(3a+1)^2 = 9a^2+6a+1 = 3(3a^2+2a)+1
(3a+2)^2 = 9a^2+12a+4 = 3(3a^2+4a+1)+1

ほれ、1余った。

(3)これは、チト難しい・・・。