積分が分かりません。宜しくお願いします。

質問

∫1/√(X^2 +1) dX

^は何乗です。

回答No.5

alice_44

それで完璧。
No.2 は、No.5 のように
-π/2＜t＜π/2 を補って
初めて成立するのです。
x = tan t という式が、t を一意に定めない
ことに注意。長い計算の途中、こういう事から
間違いが入り込むと、後で見つけ出すのが大変
になるものです。

回答No.4

info22_

#2,#3です。

A#2で
>√(cos^2 x) は、cos x ではなく、｜cos x｜
>ですから、No.2 の計算は駄目です。
と駄目と決め付ける回答者に一言。

-∞<X<∞に対して　X=tan(t)と置換したら -π/2<t<π<π/2となることくらい常識。
このtに対して cos(t)>0なので
√(cos^2(t))=cos(t)　となること位分かりそうなもの。

回答No.3

info22_

#2です。
別解
X=sinh(t)（双曲線関数です）と置換積分すると
dX=cosh(t)dt, 1/√(1+X^2)=1/√(1+sinh^2(t))=1/cosh(t)
なので
∫1/√(X^2 +1) dX=∫dt=t+C=arcsinh(X) +C
となります。

注）
arcsinh(X)=ln(X+√(X^2+1))
（これは　sinh(x)の定義式から導ける公式です。）

参考)双曲線関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

回答No.2

info22_

X=tan(t)と置換してみてください。
dX=dt/(cos(t))^2,1/√(X^2+1)=cos(t)

1/cos(t)となるから
1/cos(t)=cos(t)/(1-sin(t)^2)=(sin(t))'*1/(1-sin(t)^2)
=(1/2)(sin(t))'*{1/(1-sin(t))+1/(1+sin(x))}
と変形すれば、あとは簡単に積分できませんか？

積分したらt=arcrtan(X)を代入して元の変数に戻せばいいですね。

回答No.1

kopanda116

ln|x+(x^2+1)^0.5|

になります．