置換積分

質問

（１）ルート３Ｘ－１ ｄｘ

（２）２ＸルートＸ２乗＋１ ｄｘ

本当に分からないんです

どなたか教えていただけませんか

回答No.3

aurumnet

(１）y(x)=3x-1とすると
x=1/3*y(x)+1

dx/dy(x)=1/3
f(x)=(3x-1)^(1/2)とすると

∫f(x)dx=∫f(y(x))dx/dy*dy
=∫y^(1/2)*1/3dy
=1/3*2/3*y^(3/2)+C (C：積分定数
=2/9*(3x-1)^(3/2)+C

（２）y(x)=x^2+1とすると
dy(x)/dx=2x

f(x)=dy/dx*y(x)^(1/2)
よって
∫f(x)dx=∫dy/dx*y(x)^(1/2)dx
=∫y(x)^(1/2)dy
=(2/3)*y(x)^(3/2)+C (C：積分定数
=(2/3)*(x^2+1)^(3/2)+C

回答No.2

info22_

(1)特に置換積分しなくても積分できる。
∫(3x-1)^(1/2) dx=(2/9)(3x-1)^(3/2)+C=(2/9)(3x-1)√(3x-1)+C
置換積分いたいなら　3x-1=tと置換すればよい。

(2)特に置換積分しなくても積分できる。
∫2x(x^2+1)^(1/2)dx=(2/3)(x^2+1)^(3/2)+C=(2/3)(x^2+1)√(x^2+1)+C
置換積分したなら x^2+1=t と置換すればよい。

回答No.1

kerupy

置換積分はややこしい関数をなんかtとかと置いて計算しやすくします。

質問の問題なら
（１）∫√（3x-1）dx　の3x-1の部分がちょっとややこしいのでここをtとおきます。

t=3x-1　です。
この時にそのまま
∫√　t　dx　としてしまうとよろしくないです。
なぜかというと上の式の　dx　というのは、xで積分してください。的な意味なので、この場合　x　が存在しないので（tしかない）ので積分ができません。

どうすればいいのかというと、
約束事として置き換えた（置換した）式を微分しなければいけません。
置き換えた式は
t=3x-1
なので両辺を微分（このときは左辺はtで、右辺はxで微分します）する
そのときも約束事としてそれぞれ 　t　の方には　dt　
x　の方には　dx　を付けます。
そうすると
1・dt=3・dx
となります。
つまり
1/3・dt=dx
これで何ができるかというと、先程の邪魔な　dx　が、
1/3・dt　と同じなので置き換えれます。

なので先程の
∫√　t　dx　のdxを置き換えて
∫√　t・1/3・dt
=1/3・∫√t　dt
となりあとは普通に
＝1/3・（2/3・t＾（3/2））＋c
＝2/9・t＾（3/2）＋c
cは積分定数（だったけ？）

分かりにくくて申し訳ないです。
この手は久しぶりになので間違っていたらすいません。

（２）は
∫２x・√（x＾２＋１）dx
x＾２＋１＝t　とおいて両辺を微分すると
２x・dx＝dt　なのでこのまま当てはめると
∫√t　dt
＝2/3・t＾3/2＋c
になるのではないでしょうか。