積分の解き方

質問

先週友人から積分の解き方を聞かれたんですけどわかりませんでした。基礎なのかもしれませんが教えてください。∫(3x＋1)の4乗分のx＋1dxです。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

∫{(x+1)/(3x+1)^4}dx
=(1/3^4)・∫[(x+1/3)+2/3]/(x+1/3)^4]dx
・・・と変形してx+1/3 = t とおく・・・！

与式=(1/3^4)・{∫t^(-3)dt + 2/3・∫t^(-4)dt}
・・・を計算！

回答No.3

ykskhgaki

No.2 です。

最後の式でマイナス符号を書き落としましたので訂正します。

= -(9x + 7)/54(3x + 1)^3

お礼

ありがとうございました。これで友人も理解できると思います。

回答No.2

ykskhgaki

(x + 1)/(3x + 1)^4 = {(3x + 1 + 2)/(3x + 1)^4}/3
= {1/(3x + 1)^3 + 2/(3x + 1)^4}/3

ここで、3x + 1 = t と置くと → 3dx = dt

∫{(x+1)/(3x+1)^4}dx = {∫t^(-3) dt + 2∫t(-4) dt}/9
= -{t^(-2)/2 + 2t^(-3)/3}/9 = -(1/2 + 2/3t)/9t^2 ・・・ 3t, 9t^2 → (3*t), (9*t*t)

t = 3x + 1 を代入して元に戻す

= -{1/2 + 2/3(3x + 1)}/9(3x + 1)^2 = (9x + 7)/54(3x + 1)^3