数3の置換積分を教えてください。

質問

t=√(x^2+4)など、√の中に2乗が含まれる式を置換したとき、
ルートを外すとt^2=x^2+4などとなりますが、これをdx ⇒dtに変えるとき
2x dx= 2t dtになる理由が分かりません。
このように変形できる理由を教えてください。

ちなみに、
二乗式が含まれない、t=√(4x+3)などが
dx⇒dtに変えるときは、x=(t^2-3)/4から、合成関数の微分よりdx = {(t^2-3)/4}' dtとなり
dx = t/2 dtになるのは分かります。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

t^2 = x^2+4 の右辺を x で微分すると 2x. 左辺は「t を x の関数」と思って微分すると, 合成関数の微分から
(d/dx)t^2 = (dt/dx)(d/dt)t^2 = 2t dt/dx.
従って
2t dt/dx = 2x.

お礼

理解できました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

まさに「合成関数の微分」そのものですが... 2x dx = 2t dt でないとしたら, どうなるとお思いでしょうか?

補足

早速、回答ありがとうございます。

t^2=x^2+4
と置換して置き換えるとき、自分が分かっている方法でやると、x=の形に直して、これをx=g(t)とおいたとき、dx= g'(t)dt になりますよね？
ただ、このように置換した場合、x=±√(t^2-4)となり、g(t)の±が不明確かつ 2x dx = 2t dt の式になることはありません。

強引に、t^2=x^2+4がこの状態でtの式とxの式に別れているから、(左辺)= h(t) 、 (右辺)= i(x)とおき、
i'(x) dx = h'(t) dt とおけば同じような式を導き出すことができますが、このような方法がどのようにして合成関数の微分に結びついているのかが分かりません。
この点に関して説明いただけると幸いです。