積分

質問

受験生です
∫√(x^2-4)dx

ルート(Ｘの二乗)－４
の積分がわかりません。

答えまででなくとも、やり方だけでも大丈夫です
どうかよろしくお願いします

回答No.5

nag0720

＃２です。

x=2/cost　としたのは、
＃３さんの回答の、y=√(x^2-4) と　y=2tanθ　を合わせたものです。
2tanθ=√(x^2-4)
x^2=(2tanθ)^2+4=4/cos^2θ
x=2/cosθ

それより、＃２の回答が間違ってました。
(sint/cos^2t)'=1/cost+sin^2t/cos^3t
でした。

1/cost　の積分は、
1/cost=cost/cos^2t=cost/(1-sin^2t)=(1/2){cost/(1+sint)+cost/(1-sint)}
より、
∫(1/cost)dt=(1/2){log(1+sint)-log(1-sint)}
となります。

回答No.4

info22_

∫√(x^2-4)dx=∫(x^2-4)/√(x^2-4)dx
=∫(x^2-2-2)/√(x^2-4)dx
=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx -∫2/√(x^2-4)dx
=I1 + I2
ここで
{x√(x^2-4)}'=√(x^2-4) +(x^2)/√(x^2-4)=2(x^2-2)/√(x^2-2)
I1=∫(x^2-2)/√(x^2-4)dx =(1/2)x√(x^2-4)+C1

{log|x+√(x^2-4)|}'={1+x/√(x^2-4)}/{x+√(x^2-4)}=1/√(x^2-4)
I2=-∫2/√(x^2-4)dx
=-2log|x+√(x^2-4)|+C2

∴I=I1+I2=(1/2)x√(x^2-4) -2log|x+√(x^2-4)|+C (C=C1+C2,積分定数)

回答No.3

alice_44

y = √(x^2-4) と置いてみましょう。
dy/dx = {(1/2)(x^2-4)^(^1/2)}(2x) = x/y より、
∫√(x^2-4)dx = ∫y dx = ∫x dy = ∫±√(y^2+4)dy です。
最右辺の積分が y = 2 tanθ で置換積分できることは、
有名な公式かと思います。

お礼

ありがとうございます。
はい。tanやSinを使った置き換えは私も学校で教わりました。最初にこの問題を見たとき、ルートの中の式が二乗と二乗だったので私もこの公式だと思い友人と、Alice４４さんの様に解いたのですが上手くいきませんでした…。

回答No.2

nag0720

x=2/cost
とおくと、
dx=2sint/cos^2t dt

∫√(x^2-4)dx
=∫√((2/cost)^2-4)2sint/cos^2t dt
=4∫(sin^2t/cos^3t)dt

あとは、
(sint/cos^2t)'=1/cos^2t+sin^2t/cos^3t
を利用して部分積分を適用すれば解けるはずです。

お礼

なるほど…
たしかにできそうです。それにしても、最初の一歩の置換のひらめきがハイレベルですね…
(((;゜;Д;゜;)))

回答No.1

noname#157574

初等関数の範囲では積分不能です。

お礼

ありがとうございます。
初等関数について調べてみましたが、この場合も初等関数に当て嵌まるのかイマイチわからないのでもうしばらく考えてみます。