p(X=xi)=pi (i=1,2)におけるp1+p2は１になりますか

質問

p(X=xi)=pi (i=1,2)におけるp1+p2は１になりますか？

問題自体は以下の証明です。
途中まで解きましたので、ご教授願います。

p(X=xi)=pi (i=1,2)の時、
E(aX+b)=aE(X)+bを証明しなさい。※Eは平均値を表します。

E(aX+b)=Σ[i=1　2]E(axi+b)pi
=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2
=ax1p1+ax2p2+bp1+bp2
=a(x1p1+x2p2)+b(p1+p2)

※(p1+p2)=1なら、

=aE(X)+b・1
=aE(X)+b

と証明終了するのですが、どうなのでしょうか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

「Eは平均値を表します。」と書いたのと同様に、
「pは確率を表します。」と注記することが必要。
でないと、何の話だか(テレパシーを使わなければ)わからない。

その上で、p1 + p2 = 1 であるか否かは、
x1, x2 で全ての場合が尽くされているか否か次第なのだけれど、
平均値を E(aX+b) = Σ[i=1　2] (axi+b)pi (のミスプリだよね？)と
計算してよいのであれば、x1, x2 で全ての場合が尽くされている。

場合分けがもっと多い(例えば n 個)のであれば、
E(aX+b) = Σ[i=1　n] (axi+b)pi
= a Σ[i=1　n] (xi)(pi) + b Σ[i=1　n] pi
= a E(X) + b.

ここでも、Σ[i=1　n] pi = 1 か？ という疑問が湧くかもしれないが、
Σ[i=1　n] pi = E(1) と言えるのであれば、それでよい。

お礼

すみません、確率の話です…
レポートの批評でも似た事をよく指摘されます…orz

説明、とても理解できました！
有難う御座います。