統計学の推定問題です！教えでください、

質問

統計学の推定問題です！教えでください、 よろしくお願いします！！

母集団の分布は次のように

P（Xi）=pi (i=1,2,3)

ただし、pi>0,p1+p2+p3=1. この分布から大きさｎの無作為標本をとるとします。

（１） p1=1/3です。 しかし、p2とp3がわかりません。（a) p2とp3の推定方法を説明し、（ｂ）その方法を推奨する理由の述べなさい。
（２） ｐi(i=1,2,3) はわかりませんが, 「何らかの問題があり、ｘ１とｘ２を区別することができず、すべてｘ２と表示される」という子が、わかっているとします。この時、（a) ｘ３の生じる確率の推定方法を説明し、（ｂ）その方法を推奨する理由を述べなさい

よろしくお願いします！！

回答No.2

noname#227064

? 僕は不変推定量が良い推定方法だと思います

不偏推定量が良いと思うのですね。
Xiとなった数をYiとおくと、p3の不偏推定量は（１）と（２）のどちらもY3/nとなります。
（１）は三項分布に従いますので確率関数は
{n!/(Y1!Y2!Y3!)} * p1^Y1 * p2^Y2 * p3^Y3
= {n!/(Y1!Y2!Y3!)} * (1/3)^Y1 * (1-1/3-p3)^Y2 * p3^Y3
となり、（２）はX1とX2が区別つかないのでこの二つをまとめて二項分布となるので、確率関数は
{n!/(Y2!Y3!)} * (p1+p2)^Y2 * p3^Y3
= {n!/(Y2!Y3!)} * (1-p3)^(n-Y3) * p3^Y3
となります。
二項分布の期待値が求めることができれば、Y3/nが不偏推定量であることを確かめるのは難しくないでしょう。

Y3/nという推定方法は、不偏推定量の中でも分散が最小になる推定方法ですので、この意味では最も良い推定量となりますが、Y3の実現値によっては使えない推定量となります。
（y3 > 2n/3となった場合、p3 > 2/3と推定することになりますが、p1 = 1/3なので有り得ない）
従って、（１）の場合は違う推定方法の方が良いかもしれません。

不偏推定量の他に良く使われる推定量としては最尤推定量があります。
これは（１）の場合ですと
{n!/(Y1!Y2!Y3!)} * p1^Y1 * p2^Y2 * p3^Y3
をp3の関数と見なして、この関数が最大となるときのp3を推定量とします。
この関数の対数をp3で微分し0となる点を求めることで、
2X3 / 3(X2 + X3)
がp3の最尤推定量であることがわかります。
この推定量は2/3を超えることはありません。
また、この推定量の条件付期待値はp3に一致します。
（多分、不偏推定量ではないと思います）

（２）の場合はY3/nがそのまま最尤推定量となります。

回答No.1

noname#227064

とりあえず、ヒントを出すだけにします。

まずは、（１）と（２）で考えられる推定方法を挙げてみてください。
少なくとも、（１）では二通り（２）では一通りの推定方法を思いついて欲しいですね。
確率の問題でよくでてくるコイントスでは
表がでた回数/コイントスした回数
で表のでる確率を推定することが多いですが、この問題でコイントスにおける表がでた回数とトスした回数にあたるものは何でしょうか？
わかっているのは
（１）：n, p1（或いはp2+p3）, x1となった数, x2となった数, x3となった数
（２）：n, , x1となった数, x2となった数, x3となった数
ですよね。

次に推奨する理由ですが、ある推定方法（推定量）があったとすると、その推定量の良し悪しの目安として、最尤推定量であるとか、或いは一致推定量、不偏推定量、有効推定量等であるとかいろいろありますが、あなたはどれが良い推定方法だと思いますか？
（他には、推定方法によっては推定値が簡単に計算できるというのも理由に成り得ると思います。）

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E5%AE%9A%E9%87%8F

補足

ありがとうございます！
僕は不変推定量が良い推定方法だと思います