対称性（E[xi^2] が i によらない）とは？

質問

https://mathtrain.jp/huhenbunsan
で、不偏性の証明のところで、
=(6/9)(x1^2 + x2^2 + x3^2) - (6/9)(x1 x2 + x2 x3 + x1 x3)
の次の行に
「対称性（E[xi^2] が i によらないことなど）から」と言って、
(x1^2 + x2^2 + x3^2) = 3E[x1^2]
(x1 x2 + x2 x3 + x1 x3) = 3E[x1 x2]
に変換されているようです。

対称性というのは、ここ
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10143703580
を見て、今なんとなく理解しました。

別に、順番を入れ替えて
(x2^2 + x1^2 + x3^2)
でも
(x3^2 + x2^2 + x1^2)
でもいいですよ、ってことですよね？

でも、
3E[x1^2]
という風にx1だけで表現するのは理解できません。

もしかしたら
x1 = 1
x2 = 500
x3 = 99999999999999999999
かもしれませんよ？

これも入れ替えていいんでしょうから、
3E[x3^2]
にしたら大きな違いじゃないですか？

…ということで、
なぜx1だけで表現できてしまうのでしょうか？
この問題に特化した対称性について教えて下さい。
お願いします。

回答No.2

phosphole · ベストアンサー

あなたは統計などの基本的な考えを理解していないと思われる。

ここではすごくいい加減な説明をする。そうしないと、貴方は混乱して手がつけられなくなると思われる。

サイコロを振って、どの目が出るかを調べるとする。

サイコロの出目の期待値は当然7/2 = 3.5である。

さて、実際にこの実験を行って、n回目の出目をxnとして記録していくとする。
xnは実際には1だったり６だったりするだろうが、「出目の期待値」は常に3.5である（これが理解できないなら確率を最初からやり直せ）。

この話と全く同じことを言っているだけ。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

サイコロの例なので理解できました。確かに何回目に振ったものであっても期待値は3.5で変わりませんよね。別に3E[x3]でも構いませんね。
例の質問の方はこうやって解いているのでしばらくお待ちください（まだ最後まで解けていません）。
ありがとうございました。

回答No.1

gamma1854

「i」は”番号”ですよ。
ex) x[1]=2, x[2]=9, x[3]=7, x[4]=1 である場合、
Σ[i=1~4] (x[i])^2
を考えると、当然「番号によらない」という当然のことを言っているにすぎません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
しかし、そのiの意味は理解していたんですよね。なぜ3E[x1]とピンポイントで指定できるのかが疑問でした。結論として、期待値は何番目でも変わらないので、別に3E[x3]でも問題なかったです。期待値は対称性がある、と覚えておきます。