期待値

質問

a、bが定数のとき
E(aX＋b)＝aE(X)＋b,E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)
が成り立つことを証明せよ。
全然わからないのですが、どう考えればよいでしょうか？

回答No.2

Tacosan

E(X+Y) = E(X) + E(Y)
を証明するときには, X と Y の同時確率密度 (分布) を使わないとだめです.
つまり, 左辺は
Σ_i Σ_j (x_i + y_j) Pr(X = x_i & Y = y_i)
としなきゃならないことに注意しましょう. これを
Σ_i Σ_j (x_i + y_j) Pr(X = x_i) Pr(Y = y_i)
としたらアウト.

まぁ, 和のときには (最終的に) 同じなんですけどね.

補足

確率分布ですか？
数III・Cですか？習ってないですね、
詳しいことはわからないですね・・・・
Σってなんですか？

回答No.1

noname#14584

証明の方針として，
まず，一次式の平均の場合，
Y=aX+bとして，(Yは確率変数）
Y=ax+bとX=xについて，それぞれの成立する確率を見ます．（これはa=0でないとき，同値条件ですから等しくなります）
あとは，期待値の定義にそってE(Y)を順々に計算していくと，主張が導かれます．

次に，和の場合，
期待値の定義を使って，計算すればでます．
考えにくい場合は，一旦，確率変数Xのとる値xiとYのとる値yjについて，i,jを動かしたときにxi+yjが常に異なる場合について考察してみると良いでしょう．

ちなみに，期待値の定義とは，

確率変数Xのとりうる値をxi(i=1,…,n)としたとき，
E(X)=Σ[i=1,n](P(X=xi)xi)

で定められる値を言います．