(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完

質問

お世話になっています。

[Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。
(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi)
(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全

完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを
完全と言う」です。
つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり，
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する．
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる．

お礼

有難うございます。

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
> <xi,x>を計算すれば終わり

Σ[i=1..n]cixi:=x,Σ(<x,xi>xi)=Σ[i=1..n](c1<x1,xi>+c2<x2,xi>+…+cn<xn,xi>)
=Σ[i=1..n]cixi=x
となりますね。

> >(ii)についてはさっぱりわかりません
> 「任意の」x∈Vに対して
> ∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
> ならばXは完全
> x1,...,xnとは異なるyをとり，
> x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する．
> ||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
> 矛盾がでてくる．

仰ると通り証明できました。