x1,x2,…,xn:正規直交Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2≦∥x∥^2且つx-Σ[i=1..n]<x,xi>xi⊥xj (∀j)

質問

こんにちは。

[定理]x1,x2,…,xnが内積空間Xでの正規直交集合とする。
x∈Xの時,
Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2≦∥x∥^2
且つ
x-Σ[i=1..n]<x,xi>xi⊥xj (∀j)

はどのようして示せばいいのか分かりません。
何卒,ご教示ください。

尚,
内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条
件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言
う。
(i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0
(ii) <x,y>=<y,x>~ (~はバーを表す)
(iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(iv) <αx,y>=α<x,y>
ノルムの定義はVを線形空間とする。Vの任意の要素xに対して,次の条件を満たすような実数∥x∥がある時,∥x∥をxのノルムという。
(i) ∥x∥≧0;また∥x∥=0⇔x=0
(ii) ∥αx∥=|α|∥x∥
(iii) ∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

その内積とノルムの定義は正しいのですが，今の場合は不十分で，
ノルムは内積と両立していないといけません ( <x,x> = ||x||^2 )．

この条件を課して証明します．
後半から先にやるほうが簡単なので，そうします．

後半： <(与式), xj> = 0 を示せば十分です．これはやるだけで
　<x,xj> - Σ[i=1,n] <x,xi><xi,xj> = <x,xj> - <x,xj> = 0
です．ただし内積の線型性と，xi たちの正規直交性，すなわち
<xi,xj> = 0 (i ≠ j), 1 (i = j) を使いました．

前半：後半の結果を使います．
　y = x - Σ<x,xi> xi
とおきます（すなわち y は後半の式）．
変形して x = Σ<x,xi> xi + y とし，両辺のノルムをとれば
　||x||^2 = <x,x>
　　　　　= ΣΣ<x,xi><x,xj><xi,xj> + Σ<x,xi><xi,y> + Σ<x,xi><y,xi> + <y,y>
　　　　　= Σ|<x,xi>|^2 + ||y||^2
　　　　 ≦ Σ|<x,xi>|^2
となって示されます．ただし二行目から三行目の変形で xi たちの
正規直交性と，y と xi の直交性（後半の結果）を使いました．

お礼

詳細なご解説誠に有難うございました。
おかげ様でやっと理解できました。

補足

> その内積とノルムの定義は正しいのですが，今の場合は不十分で，
> ノルムは内積と両立していないといけません ( <x,x> = ||x||^2 )．

訂正致します。
∥x∥:=√<x,x>と定義してこれをxのnormという。そしてnormには次の(i),(ii),(iii)という性質が成立する。
(i) ∥x∥≧0;また∥x∥=0⇔x=0
(ii) ∥αx∥=|α|∥x∥
(iii) ∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥
といえばよかったのですね。