確率E[aX+b]=a[X]+bの証明について

質問

基本的な部分ですが、すっきりせず困っています。
確率変数Xに対し、新しい確率変数aX+bを考えたとき、
E[a*X+b]=Σ{(a*x_i+b)*f(x_i)} ------------------(*)
=Σ{(a*x_i)*f(x_i)}+Σ{b*f(x_i)}
=a*Σ{(x_i)*f(x_i)}+b*Σ{f(x_i)}
=a*E[X]+b*1
=a*E[X]+b
という証明がよく教科書に載っていると思います。
しかし、確率変数Xが確率分布f(x)に従うとき、
E[X]=Σ{(x_i)*f(x_i)}=x_1*f(x_1)+x_2*f(x_2)+…+x_n*f(x_n)
ですから、確率変数がXからaX+bになると、掛け合わせる確率分布もf(aX+b)でなければならず、結局、(*)式は
E[a*X+b]=Σ{(a*x_i+b)*f(a*x_i+b)}
のようになると思うのですが・・・。
でもそれだとE[aX+b]=a[X]+bにならないですよね・・・。何か勘違いをしているでしょうか？もしわかる方がおられましたら、どうぞご助力下さい。

回答No.2

jaspachate

Y = aX + b とおくと、X = (Y-b)/a なので、Yの従う確率分布は f((Y-b)/a) です。Y の期待値は、
E(Y) = ΣY_i f((Y_i-b)/a)
なので、結局これは Σ(aX_i+b)f(X_i) に等しく、Xの分布の元でのaX+bの期待値に等しくなります。

つまり「掛け合わせる確率分布もf(aX+b)でなければならず」というところが間違っており、もしそうなら Y の確率分布は f(Y) ということになって、X=Y でなければなりませんね。

お礼

回答ありがとうございます。
示していただいたE(Y) = ΣY_i f((Y_i-b)/a)
ですが、これは結局
E(X) = Σ(aX_i+b)f(X_i)　-------------------(*)
が成り立つことが前提になっていますが、どうして(*)が成り立つのかという点が疑問だったのです。
私の質問内容があいまいだったためだと思われます。
失礼いたしました。

回答No.1

arrysthmia

f(x_i) は、確率変数 X が値 x_i をとる確率です。
新しい確率変数 aX+b とは、X が値 x_i をとるときに値 a(x_i)+b をとるような確率変数
という意味だったのではないですか？　ならば、
aX+b が値 a(x_i)+b をとる確率は、X が値 x_i をとる確率と同じ f(x_i) であるハズです。

お礼

確かにその通りだと思います。
そう考えると、「aX+b が値 a(x_i)+b をとる確率は、X が値 x_i をとる確率と同じ f(x_i) であるハズです」
というのは当たり前ですね。
すっきりしました、ありがとうございます。