確率変数（たぶん初歩的な問題です）

質問

【問題】
離散型確率変数X,Yの分布がP(X=xi)=pi,P(Y=yi)=qi　(i=1,2)であるとき,E(X+Y)=E(X)+E(Y)を示しなさい.

【自分なりの答え】
E(X+Y)=(x1+y1)p1q1+(x1+y2)p1q2+(x2+y1)p2q1+(x2+y2)p2q2
　　　　=x1p1(q1+q2)+x2p2(q1+q2)+y1q1(p1+p2)+y2q2(p1+p2)
　　　　=x1p1+x2p2+y1q1+y2q2
　　　　=Σ(i=1～2)xipi+Σ(i=1～2)yiqi
　　　　=E(X)+E(Y)

と自分なりに考えて証明してみたのですが,これではXとYが独立な確率変数の場合の証明となってしまいます.

XとYが独立な確率変数ではなくてもE(X+Y)=E(X)+E(Y)が成立するはずなのですが、どう証明すればよいのでしょうか？

アドバイスをいただけないでしょうか？お願いします。

回答No.2

yaksa · ベストアンサー

そんなに複雑にならないはずです。

＞E(X + Y) = Σ(i=1～2)(xi + yi)piqi
これが違います。これでは、独立を仮定していることになりますね。
E(X+Y) = Σ_{i=1,2}Σ_{j=1,2} (xi + yj)rij
です。ここが分からなければ、XとYについて、２×２通りに分けた表を書いて考えてみてください。
rijは、XがxiでかつYがyjを取る確率です。
つまり、X+Yがxi+yjになる確率がrijということ。
以下、答え。見たくなければ、見ないで自分でやってください。

E(X+Y) = (x1+y1)r11 + (x1+y2)r12 + (x2+y1)r21 + (x2+y2)r22
　　　 = x1(r11+r12) + x2(r21+r22) + y1(r11+r21) + y2(r12+r22)
　　　 = x1p1 + x2p2 + y1q1 + y1q2
　　　 = (x1p1 + x2p2) + (y1q1 + y1q2)
　　　 = E(X) + E(Y)

お礼

うぅ～ん。せっかくアドバイスしていただいたのに
全然活かすことが出来ませんでした。すみません。||||(;-_-)||||
おかげで凄く良く分かりました。ありがとうございます。(^_^メ)

回答No.1

yaksa

P(X=xiかつY=yj)=rij と置いて計算すればOK。
pi = ri1 + ri2
qi = r1i + r2i
を使えば、証明できるはずです。
というか、実際には、kira_kira_kenの証明ほとんどそのままですね。

補足

アドバイスありがとうございました。
答えはこんな感じで良いのでしょうか？

P(X=xi and Y=yj) = rij とする.
ゆえに pi = ri1 + ri2, qi = r1i + r2i　である.

E(X + Y) = Σ(i=1～2)(xi + yi)piqi

= (x1 + y1)(r11 + r12)(r11 + r21)
+ (x1 + y2)(r11 + r12)(r12 + r22)
+ (x2 + y1)(r21 + r22)(r11 + r21)
+ (x2 + y2)(r21 + r22)(r12 + r22)

= x1(r11 + r12)(r11 + r21) + y1(r11 + r12)(r11 + r21)
+ x1(r11 + r12)(r12 + r22) + y2(r11 + r12)(r12 + r22)
+ x2(r21 + r22)(r11 + r21) + y1(r21 + r22)(r11 + r21)
+ x2(r21 + r22)(r12 + r22) + y2(r21 + r22)(r12 + r22)

= x1(r11 + r12)(r11 + r12 + r21 + r22)
+ x2(r21 + r22)(r11 + r12 + r21 + r22)
+ y1(r11 + r21)(r11 + r12 + r21 + r22)
+ y2(r12 + r22)(r11 + r12 + r21 + r22)

= x1(r11 + r12) + x2(r21 + r22) + y1(r11 + r21) + y2(r12 + r22)

= x1p1 + x2p2 + y1q1 + y2q2

= Σ(i=1～2)xipi + Σ(i=1～2)yiqi

= E(X) + E(Y)