大学の数学です

質問

ルベーグ積分の問題です。おそらくフビニの定理を使うと思われるのですが…
解答が分からず困ってます。

問:f(x),g(x)はＲ(太字)上のボレル可測関数で可積分とする。f*gを

(f*g)(x)=∫f(y)g(x-y)dy(積分範囲はＲ)
で定義するとき次の問に答えよ。

①f*g=g*fが成り立つ事を示せ。

②f*gはＲ(太字)の可積分な関数であって
∥f*g∥≦∥f∥・∥g∥
が成り立つことを示せ。

③さらにhがＲ(太字)上の可積分な関数とするとき
(f*g)*h=f*(g*h)
が成り立つことを示せ。

宜しくお願いします。

回答No.1

kabaokaba

とりあえず指定の教科書とか
ルベーク積分の他の本を参照すること．

話は全部L^1でルベーク測度だと仮定しよう．

これは畳み込み（convolution）と呼ばれる
超基本の演算だから，ちょっと探せば証明はすぐみつかる．
すくなくとも
(1) f*g=g*f
なんてのは定義に従って，変数変換すりゃできる
＃ルベーグ測度の「推移不変性」「対称性」ってやつの帰結

(2)については，ヘルダーの不等式そのものでしょう．
もっとも(3)で使うことを
先に示せばもっと自明になるはず．

(3)に関しては，フビニの定理を使って
\int_R (f*g)(x) dx = \int_R f(x)dx \int_R g(x) dx
を示すってのでどう．これさえ終われば
((f*g)*h)(x)
=
\int_R f(x) dx \int_R g(x) dx int_R h(x) dx
に持ち込むってあたりでどうだ．

まあ，とりあえず教科書をじっくり読みなさいな