微積分の問題です。

質問

微積分の問題です。

f(x,y):R^2上の実数値C^1級関数
g(x):R上の実数値C^1級関数

F(x)=int{_0^g(x)}f(x,y)dy x∈R
これがC^1級であることを示し、その導関数F'(x)を求めよ。

これはF(x)が連続であることを示して、F(x)の一回微分が一様連続であることを示すんですよね？
この問題でR上連続はどのようにしたら示せますか？

よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

まづ、微分可能性の証明に先立ち、
微分可能と仮定して、導関数を求めて
しまいましょう。
値が判れば、微分係数の定義に従って
平均変化率の収束を示せばよいです。

導関数を計算するときには、
F = ∫[0≦y≦s] f(t,y) dy を
多変数合成関数の微分則を使って
dF/dx = (∂F/∂s)(ds/dx) + (∂F/∂t)(dt/dx) とし、
s = g(x), t = x を代入して整理すればよい。

具体的に F' が求まってしまえば、
連続性も容易に示せますね。

お礼

ありがとうございました