convolution について

質問

convolution f*g の定義を
f,g∈L^1(R^N) に対して
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy
としてありました。

f*g = ∫f(x-y)g(y)dy
において x-y = t とおいて置換積分すると
∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(t)g(x-t)(-dt) =-∫f(t)g(x-t)dt
tをyと見れば、
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = -∫f(y)g(x-y)dy
となる気がします。
定義式の符号に - がないのはなぜですか？

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

> f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy
この積分はどちらもたとえばy=-∞～∞の定積分でなくちゃいけません。

nanjamonjaさんが仰っている通り、
f*g = -∫f(y)g(x-y)dy （積分はy=∞～-∞の定積分）
であり、従って、
f*g = ∫f(y)g(x-y)dy （積分はy=-∞～∞の定積分）
なの。

　また、周期的コンボルーションの場合にも、
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy
の積分がどちらもたとえばy=-π～πの定積分であり、置換をやると
f*g = -∫f(y)g(x-y)dy （積分はy=π～-πの定積分）
　　= ∫f(y)g(x-y)dy （積分はy=-π～πの定積分）
ということになります。

お礼

yについての定積分だったんですか・・・
本には積分領域がかかれてなかったので不定積分と思っていました。
ありがとうございます。

回答No.1

nanjamonja

置換すると、積分区間（-∞,∞）が逆になるので戻すと－が出てきます。

お礼

なるほど、確かにそうですね。
よくわかりました。
ありがとうございます。