再:ルベーグ測度,直積測度の零集合

質問

X,Yをユークリッド空間R^m,R^nの部分ルベーグ測度空間(X,Yはルベーグ可測集合で測度有限)とします。
φ(x,y)をx∈X,y∈Yを自由変数とする論理式、例えば「f(x,y)=g(x,y)」(f,gは可測関数)とします。

「φ(x,y) 　a.e ((x,y)∈X×Y)」　　ならば　　「「φ(x,y) 　a.e (x∈X) 」　a.e (y∈Y)」

は成り立ちますか。また、成り立たない場合はどのような反例がありますか。
但し、X×YはXとYの直積測度空間です。簡単な場合として、m=n=1,X=Y=[0,1]としてもらっても構いません。

全くわからないので、よろしくお願いします。

回答No.1

tmpname

自信がないが...

X, Yがσ-有限の場合、
f(x,y) = 0 (φ(x,y)), 1(￢(φ(x,y))とすると、f(x,y) = 0 a.e. X×Yで、
∫_{X×Y} f(x,y) d(X×Y) = 0.

Fubiniの定理より、f(x,・) はa.e. yでX-可積分で、且つ∫_{X} f(x,y)dXはY可積分
かつ、
0 = ∫_{X×Y} f(x,y) d(X×Y) = ∫_{Y} ( ∫_{X} f(x,y) dX) dY

Chebyshevの不等式から、 μ({y∈Y, ( ∫_{X} f(x,y) dX)≧ ε) ≦ (1/ε)∫_{Y} ( ∫_{X} f(x,y) dX) dY = 0より、
結局μ({y∈Y, ( ∫_{X} f(x,y) dX) > 0) = ∪_n (μ({y∈Y, ( ∫_{X} f(x,y) dX)≧ 1/n)) = 0から
∫_{X} f(x,y) dX = 0 a.e. Y

もう一回Chebyshevの不等式を使って、{f(x,y) = 0 a.e. X} a.e. Y

お礼

なるほど、確かに解決しました。Fubiniの定理がキーですね。ありがとうございます。