大学数学

質問

u(x)=∫_0 ^1〖K(x,y)f(y)dy〗とおくとき、
∫_0 ^1〖〖|u(x)|〗^2 dx≤(∫_0 ^1∫_0 ^1〖|K(x,y)|^2 dxdy〗)(∫_0 ^1〖〖|f(y)|〗^2 dy〗)〗をどのように示しますか。証明して頂きたいです。

回答No.1

EH1026TOYO · ベストアンサー

∫[0,1]|u(x)|² dx≤(∫[0,1]∫[0,1]|K(x,y)|² dxdy)(∫[0,1]|f(y)|²dy)
(但しu(x)=∫[0,1]K(x,y)f(y)dy)

シュワルツの不等式により
∫[0,1]|u(x)|² dx
=∫[0,1]{|∫[0,1]K(x,y)f(y)dy|}² dx
≦∫[0,1]{|∫[0,1](K(x,y))²dy|・|∫[0,1](f(y))²dy|}dx
≦∫[0,1]{∫[0,1]|K(x,y)|² dy・∫[0,1]|f(y)|² dy}dx
=(∫[0,1]∫[0,1]|K(x,y)|² dydx)(∫[0,1]dx∫[0,1]|f(y)|² dy)
=(∫[0,1]∫[0,1]|K(x,y)|² dxdy)(∫[0,1]|f(y)|² dy)

暗黙の了解事項として、一応長方形領域D=[0,1]x[0,1]でK(x,y)は連続であるとした上で・・!